Question

12．在三棱锥P-ABC中，PA⊥PB，PA⊥PC，PC⊥PB，则定点P在底面的投影是底面△ABC的垂心．

Answer 1

分析 由PB⊥PA，PB⊥PC，可证PB⊥平面PAC，可得PB⊥AC，又PO⊥AC，可证AC⊥平面PB，即可证明AC⊥BO，同理可证明AO⊥BC，从而可证O为垂心．

解答 证明：设O是P在面ABC上的投影，
∵PB⊥PA，PB⊥PC，
∴PB⊥平面PAC，
∴PB⊥AC，①
又∵O是P在面ABC上的射影，
则PO⊥平面ABC，
∴PO⊥AC，②
由①②可得：AC⊥平面PB，
∴AC⊥BO，
同理可以证明：AO⊥BC，
∴O是△ABC的垂心．
故答案为：垂．

点评 本题主要考查了直线与平面垂直的判定和性质，考查了空间想象能力和推理论证能力，属于中档题．