Question

18．设数列{a_n}前n项和为S_n，满足a_n=$\frac{3}{4}$S_n+$\frac{1}{2}$（n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）令b_n=na_n，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）利用递推关系证明数列是等比数列，然后求出等比数列的通项公式．
（2）先求出b_n=na_n=2n•4^n-1=$\frac{1}{2}$n•4ⁿ，然后利用乘公比错位相减法求数列的和，进一步求出结果．

解答 解：（1）∵a_n=$\frac{3}{4}$S_n+$\frac{1}{2}$（n∈N^*），
当n=1时，a₁=$\frac{3}{4}$S₁+$\frac{1}{2}$，解得a₁=2，
当n≥2时，a_n-1=$\frac{3}{4}$S_n-1+$\frac{1}{2}$，
∴a_n-a_n-1=$\frac{3}{4}$（S_n-S_n-1）=$\frac{3}{4}$a_n，
∴a_n=4a_n-1，
∴数列{a_n}是以2为首项，以4为公比的等比数列，
∴a_n=2×4^n-1=2^2n-1，
（2）b_n=na_n=2n•4^n-1=$\frac{1}{2}$n•4ⁿ，
∴T_n=$\frac{1}{2}$（1•4¹+2•4²+3•4³+…+n•4ⁿ），
∴2T_n=1•4¹+2•4²+3•4³+…+n•4ⁿ，
∴8T_n=1•4²+2•4³+3•4⁴+…+n•4ⁿ⁺¹，
∴-6T_n=4¹+4²+4³+4⁴+…+4ⁿ-n•4ⁿ⁺¹=$\frac{4（1-{4}^{n}）}{1-4}$-n•4ⁿ⁺¹=4ⁿ⁺¹（$\frac{1}{3}$-n）-$\frac{4}{3}$，
∴T_n=$\frac{1}{6}$（n-$\frac{1}{3}$）4ⁿ⁺¹+$\frac{2}{9}$

点评 本题考查的知识要点：利用递推关系式求数列的通项公式，构造新数列然后利用错位相减法求数列的和．属于中档题．