Question

10．已知等比数列{a_n}中的各项都是正数，且${a_1}，\frac{1}{2}{a_3}，2{a_2}$成等差数列，则$\frac{{{a_9}+{a_{10}}+{a_{13}}}}{{{a_7}+{a_8}+{a_{11}}}}$=（　　）

• A． $1+\sqrt{2}$
• B． $1-\sqrt{2}$
• C． $3+2\sqrt{2}$
• D． $3-2\sqrt{2}$

Answer 1

分析 利用等比数列通项公式及等差数列性质，列出方程求出q=1+$\sqrt{2}$，再由$\frac{{{a_9}+{a_{10}}+{a_{13}}}}{{{a_7}+{a_8}+{a_{11}}}}$=q²，能求出结果．

解答 解：∵等比数列{a_n}中的各项都是正数，且${a_1}，\frac{1}{2}{a_3}，2{a_2}$成等差数列，
∴$2×（\frac{1}{2}{a}_{1}{q}^{2}）={a}_{1}+2（{a}_{1}q）$，
由q＞0，解得q=1+$\sqrt{2}$，
∴$\frac{{{a_9}+{a_{10}}+{a_{13}}}}{{{a_7}+{a_8}+{a_{11}}}}$=q²=（1+$\sqrt{2}$）²=3+2$\sqrt{2}$．
故选：C．

点评 本题考查等比数列的三项和的比值的求法，考查等比数列通项公式、等差数列性质等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是基础题．