Question

5．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆Γ：$\frac{x^2}{4}+{y^2}$=1，A为Γ的上顶点，P为Γ上异于上、下顶点的动点，M为x正半轴上的动点．
（1）若P在第一象限，且|OP|=$\sqrt{2}$，求P的坐标；
（2）设P（$\frac{8}{5}，\frac{3}{5}$），若以A、P、M为顶点的三角形是直角三角形，求M的横坐标；
（3）若|MA|=|MP|，直线AQ与Γ交于另一点C，且$\overrightarrow{AQ}=2\overrightarrow{AC}$，$\overrightarrow{PQ}=4\overrightarrow{PM}$，求直线AQ的方程．

Answer 1

分析 （1）设P（x，y）（x＞0，y＞0），联立$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\\{{x}^{2}+{y}^{2}=2}\end{array}\right.$，能求出P点坐标．
（2）设M（x₀，0），A（0，1），P（$\frac{8}{5}，\frac{3}{5}$），由∠P=90°，求出x₀=$\frac{29}{20}$；由∠M=90°，求出x₀=1或x₀=$\frac{3}{5}$；由∠A=90°，则M点在x轴负半轴，不合题意．由此能求出点M的横坐标．
（3）设C（2cosα，sinα），推导出Q（4cosα，2sinα-1），设P（2cosβ，sinβ），M（x₀，0）推导出x₀=$\frac{3}{4}$cosβ，从而 4cosα-2cosβ=-5cosβ，且2sinα-sinβ-1=-4sinβ，cosβ=-$\frac{4}{3}$cosα，且sinα=$\frac{1}{3}$（1-2sinα），由此能求出直线AQ．

解答 解：（1）设P（x，y）（x＞0，y＞0），
∵椭圆Γ：$\frac{x^2}{4}+{y^2}$=1，A为Γ的上顶点，
P为Γ上异于上、下顶点的动点，
P在第一象限，且|OP|=$\sqrt{2}$，
∴联立$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\\{{x}^{2}+{y}^{2}=2}\end{array}\right.$，
解得P（$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，$\frac{\sqrt{6}}{3}$）．
（2）设M（x₀，0），A（0，1），
P（$\frac{8}{5}，\frac{3}{5}$），
若∠P=90°，则$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PM}$，即（x₀-$\frac{8}{5}$，-$\frac{3}{5}$）•（-$\frac{8}{5}$，$\frac{2}{5}$）=0，
∴（-$\frac{8}{5}$）x₀+$\frac{64}{25}$-$\frac{6}{25}$=0，解得x₀=$\frac{29}{20}$．
如图，若∠M=90°，则$\overrightarrow{MA}$•$\overrightarrow{MP}$=0，即（-x₀，1）•（$\frac{8}{5}$-x₀，$\frac{3}{5}$）=0，
∴${{x}_{0}}^{2}-\frac{8}{5}{{x}_{0}+\frac{3}{5}}^{\;}$=0，解得x₀=1或x₀=$\frac{3}{5}$，
若∠A=90°，则M点在x轴负半轴，不合题意．
∴点M的横坐标为$\frac{29}{20}$，或1，或$\frac{3}{5}$．
（3）设C（2cosα，sinα），
∵$\overrightarrow{AQ}=2\overrightarrow{AC}$，A（0，1），
∴Q（4cosα，2sinα-1），
又设P（2cosβ，sinβ），M（x₀，0），
∵|MA|=|MP|，∴x₀²+1=（2cosβ-x₀）²+（sinβ）²，
整理得：x₀=$\frac{3}{4}$cosβ，
∵$\overrightarrow{PQ}$=（4cosα-2cosβ，2sinα-sinβ-1），$\overrightarrow{PM}$=（-$\frac{5}{4}$cosβ，-sinβ），$\overrightarrow{PQ}=4\overrightarrow{PM}$，
∴4cosα-2cosβ=-5cosβ，
且2sinα-sinβ-1=-4sinβ，
∴cosβ=-$\frac{4}{3}$cosα，且sinα=$\frac{1}{3}$（1-2sinα），
以上两式平方相加，整理得3（sinα）²+sinα-2=0，∴sinα=$\frac{2}{3}$，或sinα=-1（舍去），
此时，直线AC的斜率k_AC=-$\frac{1-sinα}{2cosα}$=$\frac{\sqrt{5}}{10}$ （负值已舍去），如图．
∴直线AQ为y=$\frac{\sqrt{5}}{10}$x+1．

点评 本题考查点的坐标的求法，考查直线方程的求法，考查椭圆、直线方程、三角函数等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方思想，是中档题．