题目内容
2．已知边长为2的正方形ABCD的四个顶点在球O的球面上，球O的体积为$\frac{{20\sqrt{5}π}}{3}$，则OA与平面ABCD所成的角的余弦值为（ ）| A． | $\frac{{\sqrt{10}}}{10}$ | B． | $\frac{{\sqrt{5}}}{5}$ | C． | $\frac{{\sqrt{10}}}{5}$ | D． | $\frac{{\sqrt{15}}}{5}$ |
分析 如图，设正方形的中心为O1，可得OO1⊥面ABCD，可得∠OAO1则OA与平面ABCD所成的角，cos∠OAO1=$\frac{{O}_{1}A}{OA}$=$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{10}}{5}$．
解答 
解：如图，设正方形的中心为O1，可得OO1⊥面ABCD，
∵正方形ABCD的边长为2，∴${O}_{1}A=\sqrt{2}$，
∵球O的体积为$\frac{{20\sqrt{5}π}}{3}$，∴$\frac{4}{3}π{R}^{3}=\frac{20\sqrt{5}}{3}π$，
∴R=$\sqrt{5}$，即OA=$\sqrt{5}$，
可得∠OAO1则OA与平面ABCD所成的角，cos∠OAO1=$\frac{{O}_{1}A}{OA}$=$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{10}}{5}$，
故选：C．
点评 本题考查了求得体积公式应用，线面角的求解，属于中档题．
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| A． | $\frac{1}{4}$ | B． | $\frac{1}{3}$ | C． | $\frac{1}{2}$ | D． | $\frac{2}{3}$ |
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| A． | $\frac{1}{4}$ | B． | $\frac{1}{3}$ | C． | $\frac{1}{2}$ | D． | $\frac{3}{4}$ |
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