Question

20．已知等比数列{a_n}中，2a₄-3a₃+a₂=0，且${a_1}=\frac{1}{2}$，公比q≠1．
（1）求a_n；
（2）设{a_n}的前n项和为T_n，求证$\frac{1}{2}≤{T_n}＜1$．

Answer 1

分析 （1）由等比数列的通项公式，解方程可得公比q，即可得到所求通项；
（2）运用等比数列的求和公式，化简整理，结合指数函数的单调性和不等式的性质，即可得证．

解答 解：（1）由等比数列{a_n}中，2a₄-3a₃+a₂=0，且${a_1}=\frac{1}{2}$，公比q≠1．
得：$2{q^2}-3q+1=0⇒q=\frac{1}{2}$或q=1（舍去），
所以${a_n}={a_1}•{q^{n-1}}=\frac{1}{2}×{（\frac{1}{2}）^{n-1}}={（\frac{1}{2}）^n}$．
（2）证明：因为${a_1}=\frac{1}{2}$，$q=\frac{1}{2}$，所以${T_n}=\frac{{\frac{1}{2}（1-{{（\frac{1}{2}）}^n}）}}{{1-\frac{1}{2}}}=1-{（\frac{1}{2}）^n}$，
因为$y={（\frac{1}{2}）^x}$在R上为减函数，且$y={（\frac{1}{2}）^x}＞0$恒成立，
所以当n∈N^*，n≥1时，$0＜{（\frac{1}{2}）^n}≤\frac{1}{2}$，
所以$\frac{1}{2}≤{T_n}=1-{（\frac{1}{2}）^n}＜1$．

点评 本题考查等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列不等式的证明，注意运用指数函数的单调性和不等式的性质，考查运算能力，属于中档题．