Question

2．如图所示，△ABC是边长为6的等边三角形，G是它的重心（三条中线的交点），过G的直线分别交线段AB、AC于E、F两点，∠AEG=θ．
（1）当$θ=\frac{π}{4}$时，求线段EG的长；
（2）当θ在区间$[\frac{π}{6}，\frac{π}{2}]$上变化时，求$\frac{1}{EG}+\frac{1}{FG}$的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由已知可求$∠EAG=\frac{π}{6}$，且$AG=2\sqrt{3}$，在△AEG中，由正弦定理即可解得EG的值．
（2）由正弦定理可求$EG=\frac{{\sqrt{3}}}{sinθ}$，$FG=\frac{{\sqrt{3}}}{{sin（\frac{2π}{3}-θ）}}$，利用三角函数恒等变换的应用化简可得$\frac{1}{EG}+\frac{1}{FG}$=$sin（θ+\frac{π}{6}）$，求得范围$θ+\frac{π}{6}∈[\frac{π}{3}，\frac{2π}{3}]$，利用正弦函数的性质即可计算得解．

解答 （本题满分为12分）
解：（1）由已知得$∠EAG=\frac{π}{6}$，且$AG=2\sqrt{3}$． …（2分）
在△AEG中，由正弦定理得$\frac{EG}{sin∠EAG}=\frac{AG}{sinθ}$，即$\frac{EG}{{sin\frac{π}{6}}}=\frac{{2\sqrt{3}}}{{sin\frac{π}{4}}}$，解得$EG=\sqrt{6}$． …（6分）
（2）在△AEG中，由正弦定理得$\frac{EG}{sin∠EAG}=\frac{AG}{sinθ}$，则$EG=\frac{{\sqrt{3}}}{sinθ}$，…（7分）
又$∠AFG=\frac{2π}{3}-θ$，同理可得$FG=\frac{{\sqrt{3}}}{{sin（\frac{2π}{3}-θ）}}$，…（8分）
可得：$\frac{1}{EG}+\frac{1}{FG}=\frac{1}{{\sqrt{3}}}[sinθ+sin（\frac{2π}{3}-θ）]=\frac{1}{{\sqrt{3}}}（\frac{3}{2}sinθ+\frac{{\sqrt{3}}}{2}cosθ）$=$sin（θ+\frac{π}{6}）$，…（10分）
由$θ∈[\frac{π}{6}，\frac{π}{2}]$，得$θ+\frac{π}{6}∈[\frac{π}{3}，\frac{2π}{3}]$，则$sin（θ+\frac{π}{6}）∈[\frac{{\sqrt{3}}}{2}，1]$
即$\frac{1}{EG}+\frac{1}{FG}$的取值范围是$[\frac{{\sqrt{3}}}{2}，1]$…（12分）

点评 本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，正弦函数的图象和性质的综合应用，考查了转化思想和数形结合思想的应用，属于中档题．