Question

14．已知集合A={a|一次函数y=（4a-1）x+b在R上是增函数}，集合B=$\left.{\left\{{a|log_a^{\;}\frac{3}{4}＜1}\right.}\right\}$．
（1）求集合A，B；
（2）设集合$C=（0，\frac{3}{4}）$，求函数f（x）=x-$\frac{1}{x}$在A∩C上的值域．

Answer 1

分析 （1）根据一次函数的性质求出集合A，根据对数函数的性质求出集合B即可；（2）求出A∩B，结合f（x）的单调性求出f（x）的值域即可．

解答 解：（1）∵集合A={a|一次函数y=（4a-1）x+b在R上是增函数}，
∴4a-1＞0，解得：a＞$\frac{1}{4}$，
故$A=（\frac{1}{4}，+∞）$…（1分），
由$log_a^{\;}\frac{3}{4}＜1$得：
当0＜a＜1时，log_a$\frac{3}{4}$＜1=log_aa，解得：0＜a＜$\frac{3}{4}$，
当a＞1时，log_a$\frac{3}{4}$＜1=log_aa，解得：a＞$\frac{3}{4}$，而a＞1，故a＞1，
∴$B=（0，\frac{3}{4}）∪（1，+∞）$…（6分）
（2）$A∩C=（\frac{1}{4}，\frac{3}{4}）$…（7分）
∵函数y=x在（0，+∞）是增函数，
$y=\frac{1}{x}$在（0，+∞）上是减函数，
∴$f（x）=x-\frac{1}{x}$在（0，+∞）是增函数                        …（9分）
所以当$x∈（\frac{1}{4}，\frac{3}{4}）$时…（12分）
有$-\frac{15}{4}=f（\frac{1}{4}）＜f（x）＜f（\frac{3}{4}）=-\frac{7}{12}$…（11分）
即函数$f（x）=x-\frac{1}{x}$的值域是$（-\frac{15}{4}，-\frac{7}{12}）$…（12分）

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查对数函数的性质以及集合的运算，是一道中档题．