Question

10．设函数f（x）=x（e^x-1）-ax²在点（1，f（1））处的切线斜率为2e-2．
（1）求a；
（2）若函数y=f（x）在区间（2m-3，3m-2）上是增函数，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，根据f′（1）=2e-2，求出a的值即可；
（2）求出函数f（x）的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，得到关于m的不等式组，解出即可．

解答 解：（1）由f（x）=x（e^x-1）-ax²得f′（x）=e^x-1+xe^x-2ax，…（2分）
则f′（1）=2e-1-2a，由导数的几何意义得2e-1-2a=2e-2，解得$a=\frac{1}{2}$．                                 …（5分）
（2）由（1）得$f（x）=x（{e^x}-1）-\frac{1}{2}{x^2}$
则f′（x）=e^x-1+xe^x-x=（x+1）（e^x-1）…（7分）
由f′（x）=0得x=-1或x=0；由f′（x）＞0得x＜-1或x＞0；由f′（x）＜0得-1＜x＜0，列表如下：

x	x＜-1	x=-1	-1＜x＜0	x=0	x＞0
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	增	极大	减	极小	增

由此知f（x）在区间（-∞，-1）、（0，+∞）上为增函数，在区间（-1，0）上为减函数．…（10分）
由y=f（x）在区间（2m-3，3m-2）上是增函数，得$\left\{{\begin{array}{l}{3m-2＞2m-3}\\{3m-2≤-1}\end{array}}\right.$①或$\left\{{\begin{array}{l}{3m-2＞2m-3}\\{2m-3≥0}\end{array}}\right.$②
由①得$-1＜m≤\frac{1}{3}$；由②得$m≥\frac{3}{2}$．
故m的取值范围是$（-1，\frac{1}{3}]∪[\frac{3}{2}，+∞）$…（12分）

点评 本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及切线的意义，是一道中档题．