已知椭圆C:$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$$+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的离心率$\frac{\sqrt{5}}{3}$.F.A为椭圆C的右焦点和右顶点.B(0.b).且$\frac{\sqrt{5}}{|OF|}$$+\frac{2}{|OA|}$=$\frac{12{e}^{2}}{|OB{|}^{2}}$(1)求椭圆C的方程,(2)设M是第� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

4．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$$+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率$\frac{\sqrt{5}}{3}$，F，A为椭圆C的右焦点和右顶点，B（0，b），且$\frac{\sqrt{5}}{|OF|}$$+\frac{2}{|OA|}$=$\frac{12{e}^{2}}{|OB{|}^{2}}$
（1）求椭圆C的方程；
（2）设M是第三象限内且椭圆上的一个动点，直线MB与x轴交于点P，直线MA与y轴交于点Q，求证：四边形ABPQ的面积为定值．

分析（1）由椭圆的离心率$\frac{\sqrt{5}}{3}$，F，A为椭圆C的右焦点和右顶点，B（0，b），且$\frac{\sqrt{5}}{|OF|}$$+\frac{2}{|OA|}$=$\frac{12{e}^{2}}{|OB{|}^{2}}$，列出方程组，求出a=3，b=2，c=$\sqrt{5}$，由此能求出椭圆C的方程．
（2）求出A（3，0），B（0，2），设M（m，n），（m＜0，n＜0），则9n²+4m²=36，直线BM的方程为$y=\frac{n-2}{m}x+2$，令y=0，得x_P=$\frac{2m}{2-n}$，直线AM的方程为$y=\frac{n}{m-3}（x-3）$，令x=0，得y_Q=$\frac{3n}{3-m}$，四边形ABPQ的面积为：S_{四边形ABPQ}=$\frac{1}{2}×|AP|×|BQ|$=$\frac{1}{2}×（3-\frac{2m}{2-n}）×（2-\frac{3n}{3-m}）$，由此能证明四边形ABPQ的面积为定值．

解答解：（1）∵椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$$+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率$\frac{\sqrt{5}}{3}$，
F，A为椭圆C的右焦点和右顶点，B（0，b），且$\frac{\sqrt{5}}{|OF|}$$+\frac{2}{|OA|}$=$\frac{12{e}^{2}}{|OB{|}^{2}}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{5}}{3}}\\{\frac{\sqrt{5}}{c}+\frac{2}{a}=\frac{12×（\frac{\sqrt{5}}{3}）^{2}}{{b}^{2}}}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，
解得a=3，b=2，c=$\sqrt{5}$，
∴椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{4}$=1．
（2）证明：∵椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{4}$=1，∴A（3，0），B（0，2），
设M（m，n），（m＜0，n＜0），则$\frac{{m}^{2}}{9}+\frac{{n}^{2}}{4}$=1，∴9n²+4m²=36，
直线BM的方程为$y=\frac{n-2}{m}x+2$，令y=0，得x_P=$\frac{2m}{2-n}$，
直线AM的方程为$y=\frac{n}{m-3}（x-3）$，令x=0，得y_Q=$\frac{3n}{3-m}$，
∴四边形ABPQ的面积为：
S_{四边形ABPQ}=$\frac{1}{2}×|AP|×|BQ|$
=$\frac{1}{2}×（3-\frac{2m}{2-n}）×（2-\frac{3n}{3-m}）$
=$\frac{1}{2}×\frac{6-3n-2m}{2-n}×\frac{6-2m-3n}{3-m}$
=$\frac{36+9{n}^{2}+4{m}^{2}-36n-24m+12mn}{12-6n-4m+2mn}$
=$\frac{72-36n-24m+12mn}{12-6n-4m+2mn}$=6．
∴四边形ABPQ的面积为定值6．

点评本题考查椭圆方程的求法，考查四边形的面积为定值的证明，考查椭圆、直线方程等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．

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15．（x-$\frac{2}{\sqrt{x}}$）⁵的展开式中x²的系数为（　　）

	A．	当x＞0且x≠1时，lgx$+\frac{1}{lgx}$≥2		B．	6$-x-\frac{4}{x}$的最大值是2
	C．	$\frac{{x}^{2}+5}{\sqrt{{x}^{2}+4}}$的最小值是2		D．	当x∈（0，π）时，sinx$+\frac{4}{sinx}$≥5

19．已知二项式${（\sqrt{x}-\frac{2}{{\root{3}{x}}}）^n}$的展开式中第四项为常数项．
（1）求n的值；
（2）求展开式的各项系数绝对值之和；
（3）求展开式中系数最大的项．

9．下面（A）（B）（C）（D）为四个平面图形：

（1）数出每个平面图形的交点数、边数、区域数，并将下表补充完整：

	交点数	边数	区域数
（A）	4	5	2
（B）	5	8
（C）		12	5
（D）		15

（2）观察表格，若记一个平面图形的交点数、边数、区域数分别为E、F、G，试猜想E、F、G之间的数量关系（不要求证明）．

16．函数$f（x）=x-\sqrt{2}sinx$在区间[0，π]上的最大、最小值分别为（　　）

A．

π，0

B．

$\frac{π}{2}-\sqrt{2}\;，0$

C．

$π\;，\frac{π}{4}-1$

D．

$0\;，\;\frac{π}{4}-1$

13．在直角坐标系xOy，椭圆C₁：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁，F₂，其中F₂也是抛物线C₂：y²=4x的焦点，点M为C₁与C₂在第一象限的交点，且|MF₂|=$\frac{5}{3}$
（1）求椭圆C₁的方程；
（2）若过点D（4，0）的直线l与C₁交于不同的两点A，B，且A在DB之间，试求△AOD与△BOD面积比值的取值范围．

14．已知椭圆$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$经过点$P（2，\sqrt{2}）$，一个焦点F的坐标为（2，0）．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设直线l：y=kx+m与椭圆C交于A，B两点，O为坐标原点，若${k_{OA}}•{k_{OB}}=-\frac{1}{2}$，求$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$的取值范围．

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