题目内容

14．已知椭圆$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$经过点$P（2，\sqrt{2}）$，一个焦点F的坐标为（2，0）．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设直线l：y=kx+m与椭圆C交于A，B两点，O为坐标原点，若${k_{OA}}•{k_{OB}}=-\frac{1}{2}$，求$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$的取值范围．

分析 （1）由椭圆经过点$P（2，\sqrt{2}）$，一个焦点F的坐标为（2，0），列出方程组，求出a，b，由此能求出椭圆C的方程．
（2）$由\left\{\begin{array}{l}y=kx+m\\{x^2}+2{y^2}=8\end{array}\right.得：（1+2{k^2}）{x^2}+4kmx+2{m^2}-8=0$，利用根的判别式、韦达定理、向量的数量积，结合已知条件，能求出$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$的取值范围．

解答 解：（1）∵椭圆$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$经过点$P（2，\sqrt{2}）$，一个焦点F的坐标为（2，0）．
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{4}{{a}^{2}}+\frac{2}{{b}^{2}}=1}\\{c=2}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得a=2$\sqrt{2}$，b=2，c=2，…（3分）
∴椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}$=1．…（4分）
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），
$由\left\{\begin{array}{l}y=kx+m\\{x^2}+2{y^2}=8\end{array}\right.得：（1+2{k^2}）{x^2}+4kmx+2{m^2}-8=0$…（5分）
△=16k2m2-4（1+2k2）（2m2-8）=64k2-8m2+32＞0，即m2＜8k2+4…（6分）
${x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{4km}{1+2{k}^{2}}$，x1x2=$\frac{2{m}^{2}-8}{1+2{k}^{2}}$，…（7分）
y1y2=k2x1x2+mk（x1+x2）+m2=$\frac{2{k}^{2}{m}^{2}-8{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$-$\frac{4{k}^{2}{m}^{2}}{1+2{k}^{2}}$+m2=$\frac{{m}^{2}-8{k}^{2}}{1+2{{k}^{2}}_{\;}}$，…（8分）
∵${k_{OA}}•{k_{OB}}=-\frac{1}{2}$，
∴kOA•kOB=$\frac{{y}_{1}{y}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{{m}^{2}-8{k}^{2}}{2{m}^{2}-8}$=-$\frac{1}{2}$，
∴4m2-16k2=8，即m2=4k2+2，故4k2+2＜8k2+4，
解得k∈R…（9分）
$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}={x_1}{x_2}+{y_1}{y_2}=\frac{{2{m^2}-8}}{{1+2{k^2}}}+\frac{{{m^2}-8{k^2}}}{{1+2{k^2}}}=\frac{{3{m^2}-8{k^2}-8}}{{1+2{k^2}}}$=$\frac{{4{k^2}-2}}{{1+2{k^2}}}=2-\frac{4}{{2{k^2}+1}}$，…（11分）
$故\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}的取值范围为[-2，2）$．…（12分）

点评 本题考查椭圆方程的求法，考查向量的数量积的取值范围的求法，考查椭圆、直线方程、根的判别式、韦达定理、向量的数量积等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方思想，是中档题．

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（1）求椭圆C的方程；
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组号年龄访谈人数愿意使用
1[18，28）44
2[28，38）99
3[38，48）1615
4[48，58）1512
5[58，68）62
（Ⅰ）若在第2、3、4组愿意选择此款“流量包”套餐的人中，用分层抽样的方法抽取12人，则各组应分别抽取多少人？
（Ⅱ）若从第5组的被调查者访谈人中随机选取2人进行追踪调查，求2人中至少有1人愿意选择此款“流量包”套餐的概率．
（Ⅲ）按以上统计数据填写下面2×2列联表，并判断以48岁为分界点，能否在犯错误不超过1%的前提下认为，是否愿意选择此款“流量包”套餐与人的年龄有关？
年龄不低于48岁的人数年龄低于48岁的人数合计
愿意使用的人数
不愿意使用的人数
合计
参考公式：${k^2}=\frac{{n{{（ad-bc）}^2}}}{（a+b）（c+d）（a+c）（d+b）}$，其中：n=a+b+c+d．
P（k2≥k0）0.150.100.050.0250.0100.0050.001
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