Question

16．函数$f（x）=x-\sqrt{2}sinx$在区间[0，π]上的最大、最小值分别为（　　）

• A． π，0
• B． $\frac{π}{2}-\sqrt{2}\;，0$
• C． $π\;，\frac{π}{4}-1$
• D． $0\;，\;\frac{π}{4}-1$

Answer 1

分析 对函数f（x）求导数，利用导数判断f（x）的单调性，并求f（x）在区间[0，π]上的最大、最小值．

解答 解：函数$f（x）=x-\sqrt{2}sinx$，
∴f′（x）=1-$\sqrt{2}$cosx；
令f′（x）=0，解得cosx=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
又x∈[0，π]，∴x=$\frac{π}{4}$；
∴x∈[0，$\frac{π}{4}$）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；
x∈（$\frac{π}{4}$，π]时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；
且f（$\frac{π}{4}$）=$\frac{π}{4}$-$\sqrt{2}$sin$\frac{π}{4}$=$\frac{π}{4}$-1，
f（0）=0，f（π）=π；
∴函数f（x）在区间[0，π]上的最大、最小值分别为π和$\frac{π}{4}$-1．
故选：C．

点评 本题考查了利用导数求函数在闭区间上的最值问题，是中档题．