在直角坐标系xOy.椭圆C1:$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的左.右焦点分别为F1.F2.其中F2也是抛物线C2:y2=4x的焦点.点M为C1与C2在第一象限的交点.且|MF2|=$\frac{5}{3}$(1)求椭圆C1的方程,的直线l与C1交于不同的两点A.B.且A在DB之间.试求△AOD与△BOD面积比值的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

13．在直角坐标系xOy，椭圆C₁：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁，F₂，其中F₂也是抛物线C₂：y²=4x的焦点，点M为C₁与C₂在第一象限的交点，且|MF₂|=$\frac{5}{3}$
（1）求椭圆C₁的方程；
（2）若过点D（4，0）的直线l与C₁交于不同的两点A，B，且A在DB之间，试求△AOD与△BOD面积比值的取值范围．

分析（1）求出M的坐标，代入椭圆方程列方程组得出a，b；
（2）设l方程：x=my+4，联立方程组，利用根与系数的关系得出A，B纵坐标的关系，设λ=$\frac{{S}_{△AOD}}{{S}_{△BOD}}$=$\frac{{y}_{1}}{{y}_{2}}$，则y₁=y₂λ，代入根与系数的关系得出m²关于λ的函数，根据m²的范围即可得出λ的范围．

解答解：（1）依题意知F₂（1，0），∴F₁（-1，0），
设M（x₁，y₁），则|MF₂|=x₁+1=$\frac{5}{3}$，即x₁=$\frac{2}{3}$，
∴y₁=2$\sqrt{{x}_{1}}$=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，即M（$\frac{2}{3}$，$\frac{2\sqrt{6}}{3}$），
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}-{b}^{2}=1}\\{\frac{（\frac{2}{3}）^{2}}{{a}^{2}}+\frac{（\frac{2\sqrt{6}}{3}）^{2}}{{b}^{2}}=1}\end{array}\right.$，解得a²=4，b²=3，???
故椭圆C₁的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1．
（2）依题意知直线l的斜率存在且不为0，设l的方程为x=my+4，
联立方程组$\left\{\begin{array}{l}{x=my+4}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，整理得：（3m²+4）y²+24my+36=0，
∴△=576m²-144（3m²+4）＞0，解得m²＞4．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则y₁+y₂=-$\frac{24m}{3{m}^{2}+4}$，y₁y₂=$\frac{36}{3{m}^{2}+4}$．
设λ=$\frac{{S}_{△AOD}}{{S}_{△BOD}}$=$\frac{{y}_{1}}{{y}_{2}}$，则y₁=y₂λ，且0＜λ＜1．
把y₁=y₂λ代入y₁+y₂=-$\frac{24m}{3{m}^{2}+4}$，y₁y₂=$\frac{36}{3{m}^{2}+4}$可得：
$\left\{\begin{array}{l}{（λ+1）{y}_{2}=-\frac{24m}{3{m}^{2}+4}}\\{{λ{y}_{2}}^{2}=\frac{36}{3{m}^{2}+4}}\end{array}\right.$，消去y₂得$\frac{（λ+1）^{2}}{λ}$=$\frac{16{m}^{2}}{3{m}^{2}+4}$，
即m²=$\frac{4（λ+1）^{2}}{10λ-3{λ}^{2}-3}$，
∴$\frac{4（λ+1）^{2}}{10λ-3{λ}^{2}-3}$＞4，解得$\frac{1}{3}＜λ＜1$或1＜λ＜3（舍）．
∴△AOD与△BOD面积比值的取值范围是（$\frac{1}{3}$，1）．