Question

14．已知${（{\frac{1}{{2\sqrt{x}}}+2x}）^n}（n∈{N^*}）$展开式中第6项为常数．
（1）求n的值；
（2）求展开式中系数最大项．

Answer 1

分析 （1）根据通项公式即可求出n的值，
（2）设展开式系数最大项为第r+1项，则得到关于r烦人不等式组，解得r，问题得以解决

解答 解：（1）展开式的通项公式为 T_r+1=2^-n+2r•C_n^rx${\;}^{\frac{n-3r}{2}}$，
∵展开式中第6项为常数，
∴r=5，
即为$\frac{n-15}{2}$=0，
解得n=15，
（2）设展开式系数最大项为第r+1项，则有2^-15+2r•C₁₅^r≥2^-13+2r•C₁₅^r+1，
2^-15+2r•C₁₅^r≤2^-17+2r•C₁₅^r-1，
解得r=12
故第13项的系数最大为2^-15+24•C₁₅¹²x${\;}^{\frac{15-3×12}{2}}$=2⁹C₁₅³x${\;}^{-\frac{21}{2}}$

点评 本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于中档题．