Question

12．下列结论正确的是（　　）

• A． 当x＞0且x≠1时，lgx$+\frac{1}{lgx}$≥2
• B． 6$-x-\frac{4}{x}$的最大值是2
• C． $\frac{{x}^{2}+5}{\sqrt{{x}^{2}+4}}$的最小值是2
• D． 当x∈（0，π）时，sinx$+\frac{4}{sinx}$≥5

Answer 1

分析 由基本不等式的规律，逐个选项验证可得．

解答 解：选项A，lgx可能为负值，故lgx+$\frac{1}{lgx}$≥2错误；
选项B，6-x-$\frac{4}{x}$=6-（x+$\frac{4}{x}$），
而x+$\frac{4}{x}$≥2 $\sqrt{x•\frac{4}{x}}$=4，或x+$\frac{4}{x}$≤-2 $\sqrt{x•\frac{4}{x}}$=-4，
故6-（x+$\frac{4}{x}$）≤2，故B正确；
选项C，$\frac{{x}^{2}+5}{\sqrt{{x}^{2}+4}}$=$\frac{{x}^{2}+4+1}{\sqrt{{x}^{2}+4}}$=$\sqrt{{x}^{2}+4}$+$\frac{1}{\sqrt{{x}^{2}+4}}$≥2，
当且仅当 $\sqrt{{x}^{2}+4}$=$\frac{1}{\sqrt{{x}^{2}+4}}$即 $\sqrt{{x}^{2}+4}$=1时取等号，
此时x²=-3，故等号取不到，故$\frac{{x}^{2}+5}{\sqrt{{x}^{2}+4}}$＞2，取不到2，故错误；
选项D，当x∈（0，π）时，sinx＞0，由基本不等式可得
sinx+$\frac{4}{sinx}$≥2 $\sqrt{sinx•\frac{4}{sinx}}$=4，sinx取不到2 故不正确．
故选：D．

点评 本题考查基本不等式，逐个验证是解决问题的关键，属中档题．