Question

定义域为R的偶函数f（x）满足对任意x∈R，有f（x+2）=f（x）-f（1），且当x∈[2，3]时，f（x）=-2x²+12x-18，若函数y=f（x）-log_a（x+1）在（0，+∞）上至少有三个零点，则a的取值范围是（　　）

• A、（0，

  3

  3

  ）
• B、（0，

  2

  2

  ）
• C、（0，

  5

  5

  ）
• D、（0，

  6

  6

  ）

Answer 1

考点：根的存在性及根的个数判断

专题：计算题,作图题,函数的性质及应用

分析：由题意可判断函数f（x）是定义在R上的，周期为2的偶函数，令g（x）=log_a（x+1），画出f（x）与g（x）在[0，+∞）的部分图象如下图，将y=f（x）-log_a（x+1）在（0，+∞）上至少有三个零点可化为f（x）与g（x）的图象在（0，+∞）上至少有三个交点，从而解出a的取值范围．

解答： 解：∵f（x+2）=f（x）-f（1），
令x=-1，则f（1）=f（-1）-f（1），
∵f（x）是定义在R上的偶函数，
∴f（1）=0．
∴f（x）=f（x+2），
则函数f（x）是定义在R上的，周期为2的偶函数，
又∵当x∈[2，3]时，f（x）=-2x²+12x-18，
令g（x）=log_a（x+1），则f（x）与g（x）在[0，+∞）的部分图象如下图

y=f（x）-log_a（x+1）在（0，+∞）上至少有三个零点可化为f（x）与g（x）的图象在（0，+∞）上至少有三个交点，
g（x）在（0，+∞）上单调递减，
则

0＜a＜1 loga3＞-2

，
解得：0＜a＜

3

3

，
故选A．

点评：本题考查了数形结合的思想，同时考查了学生的作图能力与转化能力，属于基础题．