Question

已知双曲线方程为x²-4y²=16，则过点P（2，1）且与该双曲线只有一个公共点的直线有

 

条．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：把直线与双曲线的位置关系，转化为方程组的解的个数来判断，借助判别式求解．注意分类讨论．

解答： 解；双曲线方程为x²-4y²=16，化为标准形式：

x2

16

-

y2

4

=1，
当k不存在时，直线为x=2，与

x2

16

-

y2

4

=1，无公共点，
当k存在时，直线为：y=k（x-2）+1，代入双曲线的方程可得：
（1-4k²）x²+（16k²-8k）x-16k²+16k-20=0，
（1）若1-4k²=0，k=

1

2

，时y=

1

2

x，所以无公共点，
k=-

1

2

时，y=-

1

2

x+2，与y=-

1

2

x平行，所以与双曲线只有1个公共点，
（2）k≠±

1

2

时，△=（16k²-8k）²-4×（1-4k²）（-16k²+16k-20）=-64k+80-192k²=0
即k=

1

2

（舍去），k=-

5

6

，此时直线y=-

5

6

（x-2）+1与双曲线相切，只有1个公共点．
综上过点P（2，1）且与该双曲线只有一个公共点的直线2条．
故答案为：2

点评：本题综合考查了直线与双曲线的位置关系，计算较复杂，化简运算要仔细认真．