Question

已知y=f（x）是偶函数，而y=f（x+1）是奇函数，且对任意0≤x≤1，都有f′（x）≥0，则a=f（

16

3

），b=f（

17

3

），c=f（

23

3

）的大小关系是（　　）

• A、c＜b＜a
• B、c＜a＜b
• C、a＜c＜b
• D、a＜b＜c

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质,导数的运算

专题：函数的性质及应用

分析：y=f（x）是偶函数，而y=f（x+1）是奇函数可推断出=f（x）是周期为4的函数，y=f（x）是偶函数，对任意0≤x≤1，都有f′（x）≥0，说明f（x）是增函数，由这些性质将三数化简为自变量在0≤x≤1的函数值来表示，再利用单调性比较大小．

解答： 解：∵y=f（x+1）是奇函数，
∴f（-x+1）=-f（x+1），且函数关于（-1，0）对称，
∵y=f（x）是偶函数，
∴f（-x+1）=-f（x+1）=f（x-1），
即-f（x+2）=f（x），
即f（x+4）=f（x），则函数的周期为4，
∴a=f（

16

3

）=f（

4

3

）=-f（

2

3

），b=f（

17

3

）=f（

5

3

）=-f（

1

3

），c=f（

23

3

）=f（-

1

3

）=f（

1

3

），
又∵对任意0≤x≤1，都有f′（x）≥0，
∴f（x）是增函数，∴f（x）≥f（0）=0，
∴f（

2

3

）＞f（

1

3

）＞0，
∴f（

1

3

）＞0＞-f（

1

3

）＞-f（

2

3

），
∴c＞b＞a，
故选：D．

点评：本题考查了函数奇偶性的运用，利用函数的单调性以及函数的周期性，在本题三数的大小比较中，利用到了把三数转化到一个单调区间上来比较的技巧．