Question

（1）用数学归纳法证明等式1+2+3+…+（n+3）=

(n+3)(n+4)

2

（n∈N^*）；
（2）用数学归纳法证明不等式1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

＜2

n

（n∈N^*）

Answer 1

考点：数学归纳法

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：（1）首先证明当n=10等式成立，再假设n=k时等式成立，得到等式1+2+3+…+（k+3）=

(k+3)(k+4)

2

，下面证明当n=k+1时等式成立，根据前面的假设化简即可得到结果，最后得到结论．
（2）直接利用数学归纳法的证明步骤证明不等式，（1）验证n=2时不等式成立；（2）假设当n=k（k≥2）时成立，利用放缩法证明n=k+1时，不等式也成立．

解答： 证明：（1）①当n=1时，左边=1+2+3+4=10，右边=

(1+3)(1+4)

2

=10
左边=右边．
②假设n=k时等式成立，即1+2+3+…+（k+3）=

(k+3)(k+4)

2

，
那么n=k+1时，等式左边=1+2+3+…+（k+3）+（k+4）=

(k+3)(k+4)

2

+（k+4）=

(k+4)(k+5)

2

．等式成立．
综上①②可知1+2+3+…+（n+3）=

(n+3)(n+4)

2

对于任意的正整数成立．
（2）证明：①当n=1时，左边=1，右边=2，∴n=1不等式成立．
②假设当n=k（k≥2）时成立，即
1+

1

2

+

1

3

+…+

1

k

＜2

k

，
那么当n=k+1时，左边=1+

1

2

+

1

3

+…+

1

k

+

1

k+1

＜2

k

+

1

k+1

=
∵4k²+4k＜4k²+4k+1，可得2

k2+k

＜2k+1，即：2

k

+

1

k+1

＜2

k+1

，
∴1+

1

2

+

1

3

+…+

1

k

+

1

k+1

＜2

k+1

．
这就是说n=k+1时不等式也成立．
综上①②可知不等式对所有的n∈N^*都成立．

点评：本题考查用数学归纳法证明等式成立，用数学归纳法证明问题的步骤是：第一步验证当n=n₀时命题成立，第二步假设当n=k时命题成立，那么再证明当n=k+1时命题也成立．本题解题的关键是利用第二步假设中结论证明当n=k+1时成立，本题是一个中档题目．