题目内容
13．已知函数f（x）=$\frac{1}{3}$x3-ax2+1．（Ⅰ）若函数f（x）的图象关于点（0，1）对称，求a的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调递减区间；
（Ⅲ）若f（x）≥1在区间[3，+∞）上恒成立，求a的最大值．
分析 （Ⅰ）利用y=$\frac{1}{3}$x3的对称中心，通过平移变换，函数f（x）的图象关于点（0，1）对称，直接写出a的值；
（Ⅱ）求出函数的导数，利用a与0大小比较，分类讨论通过等号的符号，求函数f（x）的单调递减区间；
（Ⅲ）利用f（x）≥1在区间[3，+∞）上恒成立，转化为a的不等式，然后求解最值，即可求a的最大值．
解答 解：（Ⅰ）函数y=x3的对称中心（0，0），平移变换后函数f（x）=$\frac{1}{3}$x3+1的对称中心（0，1），
∴a的值是0．…（2分）
（Ⅱ）f'（x）=x2-2ax．…（4分）
当a=0时，f'（x）≥0，f（x）在（-∞，+∞）内单调递增；
当a＞0时，由f'（x）＜0得：0＜x＜2a；
当a＜0时，由f'（x）＜0得：2a＜x＜0．…（7分）
综上所述，当a=0时，无递减区间；当a＞0时，f（x）的单调递减区间是（0，2a）；
当a＜0时，f（x）的单调递减区间是（2a，0）．
（Ⅲ）因为 f（x）≥1在区间[3，+∞）上恒成立，即$\frac{1}{3}$x3-ax2≥0在区间[3，+∞）上恒成立．
所以a≤$\frac{1}{3}x$在区间[3，+∞）上恒成立．…（10分）
因为 x≥3，
所以$\frac{1}{3}x≥1$．…（11分）
所以 a≤1．…（13分）
所以 若f（x）≥1在区间[3，+∞）上恒成立，a的最大值为1．…（14分）
点评 本题考查函数的对称性，导函数求解函数的单调区间，函数的恒成立问题的应用，考查分类讨论转化思想的应用，是中档题．
练习册系列答案
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4．等差数列{an}的公差是2，a4=8，则{an}的前n项和Sn=（ ）
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1．户外运动已经成为一种时尚运动，某单位为了了解员工喜欢户外运动是否与性别有关，决定从本单位全体720人中采用分层抽样的办法抽取50人进行了问卷调查，得到了如下列联表：
已知在这50人中随机抽取1人抽到喜欢户外运动的员工的概率是$\frac{3}{5}$．
（1）请将上面的列联表补充完整；
（2）求该公司男、女员工各多少名；
（3）是否有99.5%的把握认为喜欢户外运动与性别有关？并说明你的理由．
下面的临界值表仅供参考；
（参考公式，x2=$\frac{{n{{（ad-bc）}^2}}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$，其中n=a+b+c+d．）
喜欢户外运动情况 性别 | 喜欢户外运动 | 不喜欢户外运动 | 合计 |
| 男性 | 20 | ||
| 女性 | 15 | ||
| 合计 | 50 |
（1）请将上面的列联表补充完整；
（2）求该公司男、女员工各多少名；
（3）是否有99.5%的把握认为喜欢户外运动与性别有关？并说明你的理由．
下面的临界值表仅供参考；
| P（x2≥k） | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
| k | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
8．cos（-1320°）=（ ）
| A． | $\frac{\sqrt{3}}{2}$ | B． | $\frac{1}{2}$ | C． | -$\frac{\sqrt{3}}{2}$ | D． | -$\frac{1}{2}$ |
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