Question

18．函数f（x）=$\frac{1}{2}$x²+x+alnx（a∈R），当m≥1时，不等式f（2m-1）≥2f（m）-$\frac{3}{2}$恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 不等式f（2m-1）≥2f（m）-$\frac{3}{2}$可化为m²-alnm²≥（2m-1）-aln（2m-1），令h（x）=x-alnx（x≥1），要使上式成立，只需要h（x）=x-alnx（x≥1）是增函数即可，从而可求实数a的取值范围．

解答 解：f（x）=$\frac{1}{2}$x²+x+alnx，（x＞0），
不等式f（2m-1）≥2f（m）-$\frac{3}{2}$恒成立，
则m²-2m+1-2alnm+aln（2m-1）≥0
即m²-alnm²≥（2m-1）-alm（2m-1）
令h（x）=x-alnx（x≥1），则问题可化为h（m²）≥h（2m-1）
∵m≥1，∴m²≥2m-1，
要使上式成立，只需要h（x）=2x-alnx（x≥1）是增函数即可，
即h′（x）=1-$\frac{a}{x}$≥0在[1，+∞）上恒成立，
即a≤x在[1，+∞）上恒成立，故a≤1，
∴实数a的取值范围是（-∞，1]．

点评 本题重点考查导数知识的运用，考查恒成立问题，同时考查学生分析解决问题的能力，有综合性．