Question

2．在数列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=a_n+c（c为常数，n∈N^*），且a₁，a₂，a₅成公比不等于1的等比数列．
（Ⅰ）求c的值；
（Ⅱ）设b_n=$\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$，求证：若数列{b_n}的前n项和为S_n，则$\frac{1}{3}$≤S_n＜$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意可知：a_n=1+（n-1）c，求得a₂=1+c，a₅=1+4c．根据等比数列等比中项的性质，求得c=2；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，a_n=2n-1，${b_n}=\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}=\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}=\frac{1}{2}（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$，根据“裂项法”即可求得数列{b_n}的前n项和为S_n，S_n=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{2n+1}$）=$\frac{n}{2n+1}$＜$\frac{1}{2}$，根据数列的单调性，可知当n=1时，S_n有最小值$\frac{1}{3}$，可证$\frac{1}{3}$≤S_n＜$\frac{1}{2}$．

解答 解：（Ⅰ）∵a_n+1=a_n+c，a=1，c为常数，
∴a_n=1+（n-1）c
∴a₂=1+c，a₅=1+4c．
又a₁，a₂，a₅成等比数列，
∴（1+c）²=1+4c，解得c=0或c=2，
当c=0时，a_n+1=a_n不合题意，舍去．
∴c=2   …（5分）
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知，a_n=2n-1，
∴${b_n}=\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}=\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}=\frac{1}{2}（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$，
∴${S_n}={b_1}+{b_2}+…+{b_n}=\frac{1}{2}[{（1-\frac{1}{3}）+（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）+…+（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）}]$，
=$\frac{1}{2}（1-\frac{1}{2n+1}）=\frac{n}{2n+1}$，
∴$\frac{1}{2n+1}$＞0，S_n=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{2n+1}$）=$\frac{n}{2n+1}$＜$\frac{1}{2}$，
由单调性可知，当n=1时，S_n有最小值$\frac{1}{3}$，
∴$\frac{1}{3}$≤Sn＜$\frac{1}{2}$…（12分）

点评 本题考查等数列通项公式，等比数列等比中项的性质，“裂项法”求数列的前n项和，根据函数的单调性求函数的取值范围，属于中档题．