Question

3．解方程：
（1）C${\;}_{13}^{x+1}$=C${\;}_{13}^{2x-3}$；
（2）C${\;}_{x+2}^{x-2}$+C${\;}_{x+2}^{x-3}$=$\frac{1}{10}$A${\;}_{x+3}^{3}$．

Answer 1

分析 （1）由原方程得x+1=2x-3或x+1+2x-3=13，解出并验证即可得出．
（2）原方程可化为${∁}_{x+3}^{x-2}$=$\frac{1}{10}$${A}_{x+3}^{3}$，即${∁}_{x+3}^{5}$=$\frac{1}{10}$${A}_{x+3}^{3}$，再利用排列与组合数的计算公式即可得出．

解答 解：（1）由原方程得x+1=2x-3或x+1+2x-3=13，
∴x=4或x=5，
又由$\left\{\begin{array}{l}{0≤x+1≤13}\\{0≤2x-3}\\{x∈{N}^{*}}\end{array}\right.$，得2≤x≤8且x∈N^*，
∴原方程的解为x=4或x=5．
（2）原方程可化为${∁}_{x+3}^{x-2}$=$\frac{1}{10}$${A}_{x+3}^{3}$，
即${∁}_{x+3}^{5}$=$\frac{1}{10}$${A}_{x+3}^{3}$，
∴$\frac{（x+3）!}{5!（x-2）!}$=$\frac{（x+3）!}{10×x!}$，
∴$\frac{1}{120}$=$\frac{1}{10x（x-1）}$．
∴x²-x-12=0，
解得x=4或x=-3（舍去），
经检验，x=4是原方程的解．

点评 本题考查了排列与组合数的计算公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．