Question

已知点P到点A（1，0），B（a，4）和到直线x=-1的距离都相等，如果这样的点P有且只有一个，那么实数a等于（　　）

• A、1
• B、2
• C、2或-2
• D、1或-1

Answer 1

考点：轨迹方程

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：由点P（x，y）到点A（1，0），到直线x=-1的距离都相等，可得P的轨迹是抛物线：y²=4x，且满足（x-a）²+（y-4）²=（x+1）²．把y²=4x代入第二个方程可得：

1-a

2

y2-8y+a2+15=0．（*）对a分类讨论，利用判别式与方程实数根的关系即可得出．

解答： 解：由点P（x，y）到点A（1，0），到直线x=-1的距离都相等，
则P的轨迹是抛物线：y²=4x，且满足（x-a）²+（y-4）²=（x+1）²．
把y²=4x代入第二个方程可得：

1-a

2

y2-8y+a2+15=0．（*）
要使满足条件的点P有且只有一个．
a=1，（*）化为y=2，代入抛物线方程x=1，可得p（1，2）只有一个，满足条件．
当a≠1时，（*）只有一解，则△=0，化为（a+1）（a²-2a+17）=0，解得a=-1．
综上可得：a=-1或1．
故选：D．

点评：本题考查了两点之间的距离公式、抛物线的定义、一元二次方程有实数根与判别式的关系，考查了分类讨论的思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．