Question

设

m

=（2sinx，

3

cosx），

n

=（asinx，-2asinx）．记函数f（x）=

m

•

n

+b，已知函数f（x）的定义域为[0，

π

2

]，值域为[-5，4]．求a，b的值．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：计算题,分类讨论,三角函数的图像与性质,平面向量及应用

分析：运用平面向量的数量积公式，利用二倍角公式和两角和的正弦公式，化简f（x）的解析式为-2asin（2x+

π

6

）+a+b，分a＞0和a＜0，根据函数的值域分别求出a、b的值．

解答： 解：由于

m

=（2sinx，

3

cosx），

n

=（asinx，-2asinx）．
则函数f（x）=

m

•

n

+b=2asin²x-2

3

asinxcosx+b
即有f（x）=a（1-cos2x）-

3

sin2x+b
=-a（cos2x+

3

sin2x）+a+b=-2asin（2x+

π

6

）+a+b．
∵x∈[0，

π

2

]，∴2x+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

]，sin（2x+

π

6

）∈[-

1

2

，1]．
显然a=0不合题意．
当a＞0时，值域为[b-a，b+2a]，即

b-a=-5 b+2a=4

，解得

a=3 b=-2

；
当a＜0时，值域为[b+2a，b-a]，即

b-a=4 b+2a=-5

，解得

a=-3 b=1

． 
综上可得，a=3，b=-2或a=-3，b=1．

点评：本题主要考查正弦函数的定义域和值域，三角函数的恒等变换及化简求值，求出a、b的值，是解题的关键，属于中档题．