题目内容
已知抛物线x=
y2的焦点与椭圆C：
+
=1（a＞b＞0）的一个焦点重合，F1、F2是椭圆C的左、右焦点，Q是椭圆C上任意一点，且
•
的最大值是3．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）过右焦点F2作斜率为k的直线l与椭圆C交于M、N两点，在x轴上是否存在点P（m，0），使得PM、PN为邻边的平行四边形是菱形？如果存在，求出m的取值范围；如果不存在，请说明理由．
| 1 |
| 4 |
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| QF1 |
| QF2 |
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）过右焦点F2作斜率为k的直线l与椭圆C交于M、N两点，在x轴上是否存在点P（m，0），使得PM、PN为邻边的平行四边形是菱形？如果存在，求出m的取值范围；如果不存在，请说明理由．
考点：直线与圆锥曲线的综合问题
专题：圆锥曲线中的最值与范围问题
分析：（Ⅰ）由题意推导出椭圆C：
+
=1（a＞b＞0）的焦点为F1（-1，0），F2（1，0），设Q（x，y），则
•
=b2-1+
x2≤b2-1+c2，由此能求出椭圆方程．
（Ⅱ）由题意知l：y=k（x-1），联立
，得（3+4k2）x2-8k2x+4k2-12=0，利用韦达定理结合已知条件推导出存在满足题意的点P且能求出m的取值范围．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| QF1 |
| QF2 |
| c2 |
| a2 |
（Ⅱ）由题意知l：y=k（x-1），联立
|
解答：
解：（Ⅰ）∵抛物线x=
y2的焦点坐标为F（1，0），
∴由题意知椭圆C：
+
=1（a＞b＞0）的焦点为F1（-1，0），F2（1，0），
∴c=1，
设Q（x，y），则
•
=（-1-x，-y）•（1-x，-y）=x2-1+y2
=x2-1+b2(1-
)
=b2-1+
x2，
∵-a≤x≤a，
∴
•
=b2-1+
x2≤b2-1+c2，
∴b2-1+c2=3，
∴b2+c2=4=a2，
∴a2=4，b2=3，
∴椭圆方程为
+
=1．
（Ⅱ）由题意知l：y=k（x-1），
联立
，整理，得（3+4k2）x2-8k2x+4k2-12=0，
设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1+x2=
，
y1+y2=k（x1+x2-2），
+
=（x1-m，y1）+（x2-m，y2）
=（x1+x2-2m，y1+y2），
∵菱形的对角线互相垂直，∴（
+
）•
=0，
∴（x1-x2）[x1+x2-2m+k（y1+y2）]=0，
∴k（y1+y2）+x1+x2-2m=0，
∴k2（x1+x2-2）+x1+x2-2m=0，
∴k2(
-2)+
-2m=0，
由已知条件知k≠0，且k∈R，
∴m=
=
，∴0＜m＜
，
∴存在满足题意的点P且m的取值范围是（0，
）．
| 1 |
| 4 |
∴由题意知椭圆C：
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
∴c=1，
设Q（x，y），则
| QF1 |
| QF2 |
=x2-1+b2(1-
| x2 |
| a2 |
=b2-1+
| c2 |
| a2 |
∵-a≤x≤a，
∴
| QF1 |
| QF2 |
| c2 |
| a2 |
∴b2-1+c2=3，
∴b2+c2=4=a2，
∴a2=4，b2=3，
∴椭圆方程为
| x2 |
| 4 |
| y2 |
| 3 |
（Ⅱ）由题意知l：y=k（x-1），
联立
|
设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1+x2=
| 8k2 |
| 3+4k2 |
y1+y2=k（x1+x2-2），
| PM |
| PN |
=（x1+x2-2m，y1+y2），
∵菱形的对角线互相垂直，∴（
| PM |
| PN |
| MN |
∴（x1-x2）[x1+x2-2m+k（y1+y2）]=0，
∴k（y1+y2）+x1+x2-2m=0，
∴k2（x1+x2-2）+x1+x2-2m=0，
∴k2(
| 8k2 |
| 3+4k2 |
| 8k2 |
| 3+4k2 |
由已知条件知k≠0，且k∈R，
∴m=
| k2 |
| 3+4k2 |
| 1 | ||
|
| 1 |
| 4 |
∴存在满足题意的点P且m的取值范围是（0，
| 1 |
| 4 |
点评：本题考查椭圆的标准方程的求法，考查满足条件的点是否存在的判断，综合性强，难度大，具有一定的探索性，解题时要注意函数方程思想的合理运用．
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