Question

若函数f（x）同时满足：①对于定义域上的任意x，恒有f（x）+f（-x）=0；②对于定义域上的任意x₁，x₂，当x₁≠x₂时，恒有

f(x1)-(x2)

x1-x2

＜0，则称函数f（x）为“理想函数”．
给出下列四个函数中：
（1）f（x）=x+1；
（2）f（x）=x²；
（3）f（x）=-x；
（4）f(x)=

-x2，x≥0 x2，x＜0

，
能被称为“理想函数”的有

 

（填相应的序号）．

Answer 1

考点：函数奇偶性的判断,函数单调性的判断与证明

专题：新定义

分析：由“理想函数”的定义可知：若f（x）是“理想函数”，则f（x）为定义域上的单调递减的奇函数．

解答： 解：若f（x）是“理想函数”，则满足以下两条：
①对于定义域上的任意x，恒有f（x）+f（-x）=0，即f（-x）=-f（x），表明函数f（x）是奇函数；
②对于定义域上的任意x₁，x₂，当x₁≠x₂时，恒有

f(x1)-(x2)

x1-x2

＜0，即（x₁-x₂）（f（x₁）-f（x₂））＜0，∴x₁-x₂与f（x₁）-f（x₂）异号，即函数f（x）是单调递减函数．即f（x）为定义域上的单调递减的奇函数．
据此可判断出：
（1）由f（x）=x+1单调递增，因此不是“理想函数”；
（2）f（x）=x²不是奇函数，因此不是“理想函数”；
（3）f（x）=-x，在R上既是奇函数，又是单调递减函数，因此是“理想函数”；
（4）f(x)=

-x2，x≥0 x2，x＜0

，在R上既是奇函数，又是单调递减函数，因此是“理想函数”．
综上可知：能被称为“理想函数”的只有（3）（4）．
故答案为：（3）（4）．

点评：本题考查了新定义、函数的奇偶性、单调性，属于中档题．