Question

如图，梯形ABCD的底边AB在y轴上，原点O为AB的中点，|AB|=

4 2

3

，|CD|=2-

4 2

3

，AC⊥BD．M为CD的中点．
（Ⅰ）求点M的轨迹方程；
（Ⅱ）过M作AB的垂线，垂足为N，若存在正常数λ₀，使

MP

=λ₀

PN

，且P点到A、B的距离和为定值，求点P的轨迹E的方程；
（Ⅲ）过（0，

1

2

）的直线与轨迹E交于P、Q两点，求△OPQ面积的最大值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题,直线和圆的方程的应用

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）设点M的坐标为M（x，y）（x≠0），则 C（x，y-1+

2 2

3

），D（x，y+1-

2 2

3

），利用AC⊥BD，即

AC

•

BD

=0，可得轨迹方程；
（Ⅱ）确定P的轨迹方程为椭圆（除去长轴的两个端点），要P到A、B的距离之和为定值，则以A、B为焦点，故1+

1

(1+λ0)2

=(

2 2

3

)2，从而可得所求P的轨迹方程；
（Ⅲ）设方程为y=kx+

1

2

，代入椭圆方程，利用韦达定理，表示出△OPQ面积，换元，利用配方法，可求△OPQ面积的最大值．

解答： 解：（Ⅰ）设点M的坐标为M（x，y）（x≠0），则 C（x，y-1+

2 2

3

），D（x，y+1-

2 2

3

）
又A（0，

2 2

3

），B（0，-

2 2

3

），由AC⊥BD有

AC

•

BD

=0，即（x，y-1）•（x，y+1）=0，
∴x²+y²=1（x≠0）．（4分）
（Ⅱ）设P（x，y），则M（（1+λ₀）x，y），代入M的轨迹方程（1+λ₀）² x²+y²=1（x≠0）
即

x2

( 1 1+λ0 )2

+y2=1（x≠0），
∴P的轨迹为椭圆（除去长轴的两个端点）．
要P到A、B的距离之和为定值，则以A、B为焦点，故1+

1

(1+λ0)2

=(

2 2

3

)2．
∴λ₀=2，
∴所求P的轨迹方程为9x²+y²=1（x≠0）．…（9分）
（Ⅲ）易知l的斜率存在，设方程为y=kx+

1

2

，代入椭圆方程可得（9+k²）x²+kx-

3

4

=0
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则x₁+x₂=-

k

9+k2

，x₁x₂=-

3

4(9+k2)

∴|x₁-x₂|=

(x1+x2)2-4x1x2

=

4k2+27 (9+k2)2

．
令t=k²+9，则|x₁-x₂|=

4t-9 t2

且t≥9．
∴S_△OPQ=

1

2

•

1

2

|x₁-x₂|=

1

4

-9( 1 t - 2 9 )2+ 4 9

，
∵t≥9，
∴0

1

t

≤

1

9

，
∴当

1

t

=

1

9

，即t=9也即k=0时，△OPQ面积取最大值，最大值为

3

12

．…（12分）

点评：本题考查轨迹方程的求法，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量知识的运用，考查韦达定理，属于中档题．