Question

设函数f（x）=ax+sinx+cosx．若函数f（x）的图象上存在不同的两点A，B，使得曲线y=f（x）在点A，B处的切线互相垂直，则实数a的取值范围为

 

．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：求出原函数的导函数，设出A，B的坐标，代入导函数，由函数在A，B处的导数等于0列式，换元后得到关于a的一元二次方程，结合线性规划知识求得a的取值范围．

解答： 解：由f（x）=ax+sinx+cosx，得
f′（x）=a+cosx-sinx，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则f′（x₁）=a+cosx₁-sinx₁，f′（x₂）=a+cosx₂-sinx₂．
由f′(x1)f′(x2)=-1，得
a²+[（cosx₁-sinx₁）+（cosx₂-sinx₂）]a+（cosx₁-sinx₁）（cosx₂-sinx₂）+1=0．
令m=cosx₁-sinx₁，n=cosx₂-sinx₂，
则m∈[-

2

，

2

]，n∈[-

2

，

2

]．
∴a²+（m+n）a+mn+1=0．
△=（m+n）²-4mn-4=（m-n）²-4，
∴0≤（m-n）²-4≤4，0≤

(m-n)2-4

≤2．
当m-n=±2

2

时，m+n=0，
又a=

-(m+n)± (m+n)2-4mn-4

2

=

-(m+n)± (m-n)2-4

2

．
∴-1≤a≤1．
∴函数f（x）的图象上存在不同的两点A，B，使得曲线y=f（x）在点A，B处的切线互相垂直，则实数a的取值范围为[-1，1]．
故答案为：[-1，1]．

点评：本题考查利用导数研究曲线上某点的切线方程，考查了数学转化思想方法，解答的关键在于由关于a的方程的根求解a的范围，是有一定难度题目．