Question

求由约束条件

x+y≤5 2x+y≤6 x≥0，y≥0

确定的平面区域的面积S和目标函数z=4x+3y的最大值．

Answer 1

考点：简单线性规划

专题：不等式的解法及应用

分析：作出不等式组对应的平面区域，根据对应图形，即可求出面积，利用z的几何意义利用数形结合即可得到结论．

解答： 解：由约束条件作出其所确定的平面区域（阴影部分），其四个顶点为O（0，0），B（3，0），A（0，5），P（1，4）．
过P点作y轴的垂线，垂足为C．
则AC=|5-4|=1，PC=|1-0|=1，
OC=4，OB=3，AP=

2

，
PB=

(4-0)2+(1-3)2

=2

5

．
得S_△ACP=

1

2

AC•PC=

1

2

，
S_梯形COBP=

1

2

（CP+OB）•OC=8．
∴S=S_△ACP+S_梯形COBP=

17

2

．
平移直线z=4x+3y，由图象可知当直线z=4x+3y经过点P（1，4），
目标函数z=4x+3y取得最大值，最大值为16．

点评：本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键．要求熟练掌握常见目标函数的几何意义．