Question

8．曲线y=1+$\sqrt{4-{x^2}}$与直线y=k（x-2）+4有两个不同交点的充要条件是$\frac{5}{12}＜k≤\frac{3}{4}$．

Answer 1

分析 先确定曲线的性质，然后结合图形确定临界状态，结合直线与圆相交的性质，可解得k的取值范围．

解答 解：y=1+$\sqrt{4-{x^2}}$可化为x²+（y-1）²=4，y≥1，所以曲线为以（0，1）为圆心，2为半径的圆y≥1的部分．
直线y=k（x-2）+4过定点P（2，4），由图知，当直线经过A（-2，1）点时恰与曲线有两个交点，顺时针旋转到与曲线相切时交点变为一个．
且k_AP=$\frac{3}{4}$，由直线与圆相切得d=$\frac{|-1+4-2k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=2，解得k=$\frac{5}{12}$．
则实数k的取值范围为$\frac{5}{12}＜k≤\frac{3}{4}$．
故答案为：$\frac{5}{12}＜k≤\frac{3}{4}$．

点评 本题考查直线与圆相交的性质，同时考查了学生数形结合的能力，是个基础题．