Question

19．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径的⊙O与AC边交于点D，过点D的直线交BC边于点E，∠BDE=∠A．
（1）判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由．
（2）若⊙O的半径R=5，tanA=$\frac{3}{4}$，求线段CD的长．

Answer 1

分析 （1）连接OD，由∠ODA=∠A，及∠BDE=∠A，求得∠ODA=∠BDE，由AB是⊙O直径，可知∠ODA+∠ODB=90°，即∠ODE=90°，可得DE与⊙O相切；
（2）Rt△ABC中∵tanA=$\frac{BC}{AB}$=$\frac{3}{4}$，求得BC，利用勾股定理求得AC的长，可得△BCD∽△ACB，利用相似三角形对应边成比例即可求得线段CD的长．

解答 解：（1）直线DE与⊙O相切．
理由如下：连接OD．
∵OA=OD，
∴∠ODA=∠A，
又∵∠BDE=∠A，
∴∠ODA=∠BDE
∵AB是⊙O直径，
∴∠ADB=90°
即∠ODA+∠ODB=90°，
∴∠BDE+∠ODB=90°，
∴∠ODE=90°
∴OD⊥DE，
∴DE与⊙O相切；…．（4分）
（2）∵R=5，∴AB=10，
在Rt△ABC中∵tanA=$\frac{BC}{AB}$=$\frac{3}{4}$，
∴BC=AB•tanA=10×$\frac{3}{4}$=$\frac{15}{2}$，
∴AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{1{0}^{2}+（\frac{15}{2}）^{2}}$=$\frac{25}{2}$，
∵∠BDC=∠ABC=90°，∠BCD=∠ACB，∴△BCD∽△ACB
∴$\frac{CD}{CB}$=$\frac{CB}{CA}$，
∴CD=$\frac{C{B}^{2}}{CA}$=$\frac{（\frac{15}{2}）^{2}}{\frac{25}{2}}$=$\frac{9}{2}$．…（9分）

点评 本题考查切线的性质与判断，勾股定理及相似三角形的判定与性质，考查数形结合思想的应用，属于中档题．