Question

13．已知函数f（x）=ln（x+a）-x²-x在点x=0处取得极值．
（Ⅰ）求实数a的值；
（Ⅱ）若关于x的方程f（x）=-$\frac{5}{2}$x+b在区间[0，2]上有两个不等实根，求b的取值范围；
（Ⅲ）证明：对于任意的正整数n，不等式（$\frac{n+1}{n}$）${\;}^{{n}^{2}}$＜eⁿ⁺¹都成立．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求得f（x）的导数，由题意可得f′（0）=0，解方程可得a的值；
（Ⅱ）分离参数可得b=ln（x+1）-x²+$\frac{3}{2}$x（x＞-1），令h（x）=ln（x+1）-x²+$\frac{3}{2}$x（x＞-1），求出导数，区间[0，2]的单调性和极值，由题意可得在x∈[0，2]内，函数h（x）的图象和直线y=b有两个交点，结合极值即可得到b的范围；
（Ⅲ）求得f（x）的导数和单调区间，极值和最大值，可得f（$\frac{1}{n}$）＜0，再由对数的运算性质，变形即可得证．

解答 解：（Ⅰ）函数f（x）=ln（x+a）-x²-x的导数为f′（x）=$\frac{1}{x+a}$-2x-1，
f（x）在点x=0处取得极值，可得f′（0）=0，即$\frac{1}{a}$-1=0，
解得a=1；
（Ⅱ）方程f（x）=-$\frac{5}{2}$x+b即ln（x+1）-x²-x=-$\frac{5}{2}$x+b，
可得b=ln（x+1）-x²+$\frac{3}{2}$x（x＞-1），
令h（x）=ln（x+1）-x²+$\frac{3}{2}$x（x＞-1），
h′（x）=$\frac{1}{x+1}$-2x+$\frac{3}{2}$=-$\frac{（4x+5）（x-1）}{2（x+1）}$，
h′（x）＞0，可得-1＜x＜1；h′（x）＜0，可得x＞1．
可得当x∈[0，2]时，h（x），h′（x）随x的变化如下表：

x	0	（0，1）	1	（1，2）	2
h′（x）	$\frac{5}{2}$	+	0	-	-$\frac{13}{6}$
h（x）	0	↗	ln2+$\frac{1}{2}$	↘	ln3-1

关于x的方程f（x）=-$\frac{5}{2}$x+b在区间[0，2]上有两个不等实根，
即为在x∈[0，2]内，函数h（x）的图象和直线y=b有两个交点，
由上表可知b的取值范围是[ln3-1，ln2+$\frac{1}{2}$]；
（Ⅲ）证明：由（Ⅰ）知f（x）=ln（x+1）-x²-x（x＞-1），
f′（x）=$\frac{1}{x+1}$-2x-1=-$\frac{x（2x+3）}{x+1}$，
f′（x）＞0，可得-1＜x＜0；f′（x）＜0，可得x＞0．
即f（x）在（-1，0）递增，在（0，+∞）递减，
当x＞-1时，f（x）≤f（0）=0，
又$\frac{1}{n}$＞-1且$\frac{1}{n}$≠0，可得f（$\frac{1}{n}$）＜0，
即ln（$\frac{1}{n}$+1）-$\frac{1}{{n}^{2}}$-$\frac{1}{n}$＜0，
即ln$\frac{n+1}{n}$＜$\frac{n+1}{{n}^{2}}$，即n²ln$\frac{n+1}{n}$＜n+1，
可得ln（$\frac{n+1}{n}$）${\;}^{{n}^{2}}$＜lneⁿ⁺¹，
则（$\frac{n+1}{n}$）${\;}^{{n}^{2}}$＜eⁿ⁺¹．

点评 本题考查导数的运用：求单调区间和极值、最值，考查不等式的证明和函数方程的转化思想，同时考查构造法的运用，考查化简整理的运算能力，属于难题．