Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F₁、F₂，点P（1，

2

3

）在椭圆C上，且PF₂⊥x轴．
（1）求椭圆C的方程；
（2）求过右焦点F₂且斜率为1的直线l被椭圆C截得的弦长|AB|；
（3）E、F是椭圆C上的两个动点，如果直线PE的斜率与PF的斜率互为相反数，证明直线EF的斜率为定值，并求出这个定值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由题意可设椭圆方程为

x2

1+b2

+

y2

4b2

=1，由P（1，

2

3

）在椭圆上，能求出椭圆方程．
（2）依题意知直线l方程为y=x-1，由 

y=x-1 x2 4 + y2 3 =1

⇒7x2-8x-8=0，由此利用弦长公式能求出弦长|AB|．
（3）设直线PE方程y=k（x-1）+

3

2

，代入

x2

4

+

y2

3

=1，得（3+4k²）x²+4k（3-2k）x+4（

3

2

-k）²-12=0，由此能证明直线EF的斜率为定值

1

2

．

解答： （1）解：由题意，c=1，可设椭圆方程为

x2

1+b2

+

y2

4b2

=1，…（2分）
因为P在椭圆上，所以

1

1+b2

+

9

4b2

=1，解得b²=3，或b²=

3

4

（舍去）．
∴椭圆方程为

x2

4

+

y2

3

=1．…（4分）．
（2）解：依题意知直线l方程为y=x-1，
设两交点为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由 

y=x-1 x2 4 + y2 3 =1

⇒7x2-8x-8=0…（6分）
∴x1+x2=

8

7

，x1•x2=-

8

7

，
∴|AB|=

(1+k2)[(x1+x 2)2-4x1x2]

=

2[( 8 7 )2+4× 8 7 ]

=

24

7

．…（8分）
（3）证明：设直线PE方程：得y=k（x-1）+

3

2

，代入

x2

4

+

y2

3

=1，
得（3+4k²）x²+4k（3-2k）x+4（

3

2

-k）²-12=0，…（10分）
设E（x_E，y_E），F（x_F，y_F）．因为点P（1，

3

2

）在椭圆上，
所以xE=

4( 3 2 -k)2-12

3+4k2

，y_E=kx_E+

3

2

-k，…（12分）
又直线PF的斜率与PE的斜率互为相反数，在上式中以-k代k，
可得x_F=

4( 3 2 +k)2-12

3+4k2

，y_F=-kx_F+

3

2

+k，…（13分）
所以直线EF的斜率k_EF=

yF-yE

xF-xE

=

-k(xF+xE)+2k

xF-xE

=

1

2

．
即直线EF的斜率为定值，其值为

1

2

．…（14分）

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查弦长的求法，考查直线EF的斜率为定值的证明，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．