Question

函数y=

2x+1

x2-2x+2

在x∈（1，2]的值域为

 

．

Answer 1

考点：函数的值域

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：利用换元法，令2x+1=t，则x=

t-1

2

，再利用分离常数法化y=

2x+1

x2-2x+2

=

t

( t-1 2 )2-(t-1)+2

=

4t

t2-6t+13

=

4

t+ 13 t -6

，利用基本不等式及函数的单调性求值域．

解答： 解：令2x+1=t，则x=

t-1

2

，
∵x∈（1，2]，则t∈（1，5]，
∴函数y=

2x+1

x2-2x+2

=

t

( t-1 2 )2-(t-1)+2

=

4t

t2-6t+13

=

4

t+ 13 t -6

，
∵t∈（1，5]，
∴t+

13

t

∈[2

13

，14），
故 t+

13

t

-6∈[2

13

-6，8），
故

4

t+ 13 t -6

∈（

1

2

，

4

2 13 -6

]，
即

4

t+ 13 t -6

∈（

1

2

，

13 +3

2

]，
故答案为：（

1

2

，

13 +3

2

]．

点评：本题考查了求函数的值域的方法，用到了换元法，分离常数法、基本不等式及函数的单调性等，属于难题．