Question

【题目】已知向量 =（cosα，sinα）， =（cosβ，sinβ）， =（﹣1，0）．
（1）求向量 的长度的最大值；
（2）设α= ，且 ⊥（ ），求cosβ的值．

Answer 1

【答案】
（1）解： =（cosβ﹣1，sinβ），则

| |2=（cosβ﹣1）2+sin2β=2（1﹣cosβ）．

∵﹣1≤cosβ≤1，

∴0≤| |2≤4，即0≤| |≤2．

当cosβ=﹣1时，有|b+c|=2，

所以向量 的长度的最大值为2．

（2）解：由（1）可得 =（cosβ﹣1，sinβ），

（ ）=cosαcosβ+sinαsinβ﹣cosα=cos（α﹣β）﹣cosα．

∵ ⊥（ ），

∴ （ ）=0，即cos（α﹣β）=cosα．

由α= ，得cos（ ﹣β）=cos ，

即β﹣ =2kπ± （k∈Z），

∴β=2kπ+ 或β=2kπ，k∈Z，于是cosβ=0或cosβ=1

【解析】（1）利用向量的运算法则求出 ，利用向量模的平方等于向量的平方求出| |的平方，利用三角函数的平方关系将其化简，利用三角函数的有界性求出最值．（2）利用向量垂直的充要条件列出方程，利用两角差的余弦公式化简得到的等式，求出值．
【考点精析】解答此题的关键在于理解数量积判断两个平面向量的垂直关系的相关知识，掌握若平面的法向量为，平面的法向量为，要证，只需证，即证;即：两平面垂直两平面的法向量垂直．