题目内容
【题目】在圆x2+y2=9上任取一点P，过点P作y轴的垂线段PD，D为垂足，当P为圆与y轴交点时，P与D重合，动点M满足 
=2 
；
（1）求点M的轨迹C的方程；
（2）抛物线C′的顶点在坐标原点，并以曲线C在y轴正半轴上的顶点为焦点，直线y=x+3与抛物线C′交于A、B两点，求线段AB的长．
【答案】
（1）
解：设M（x，y），由PD⊥y轴于点D，可设P（x0，y），D（0，y）
由 
=2 
得（x，0）=2（x0﹣x，0），
∴x=2（x0﹣x），即x0= 
x
∵动点P在圆x2+y2=9上
∴ 
∴ 
=9，即 
=1
∴动点M的轨迹C的方程为 =1
（2）
解：曲线C在y轴正半轴上的顶点为（0，3），由已知可设抛物线方程为x2=2py（p＞0）
∵焦点坐标为（0，3），∴ 
=3，即p=6
∴抛物线C′的方程为x2=12y
直线y=x+3与抛物线C′交于A，B两点，A（x1，y1），B（x2，y2），
方程联立：y2﹣18y+9=0
∵直线y=x+3经过抛物线焦点F（0，3），
∴|AB|=|AF|+|BF|=y1+y2+p=18+6=24
【解析】（1）利用代入法，求点M的轨迹C的方程；（2）求出抛物线C′的方程，方程联立，利用抛物线的定义，即可求线段AB的长．
【考点精析】关于本题考查的椭圆的标准方程，需要了解椭圆标准方程焦点在x轴：
，焦点在y轴：
才能得出正确答案．
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