Question

已知数列{x_n}满足：x₁=

5

3

，x_n+1=

xn2+1

2xn

（n∈N^*）．记b_n=log₂（

xn-1

xn+1

）（n∈N^*）．
（1）求证：数列{b_n}成等比数列，并求数列{b_n}的通项公式；
（2）记c_n=-nb_n（n∈N^*），求数列{c_n}的前n项和公式T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等比数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）利用等比数列的定义证明数列{b_n}成等比数列，求出数列{b_n}的通项公式；
（2）利用错位相减法对数列求和即可．

解答： 解：（1）

xn+1-1

xn+1+1

=

x 2 n +1 2xn -1

x 2 n +1 2xn +1

=

x 2 n -2xn+1

x 2 n +2xn+1

=(

xn-1

xn+1

)2 …（2分）
于是log₂(

xn-1

xn+1

)2=2log₂（

xn+1-1

xn+1+1

），即b_n+1=2b_n，又由条件知x₁=

5

3

，
故b₁=log₂（

5 3 -1

5 3 +1

）=-2，
所以数列{b_n}成等比数列．于是b_n=-2ⁿ，
所以．数列{b_n}的通项公式为b_n=-2ⁿ．           …（5分）
（II）由（I）知，b_n=-2ⁿ，故c_n=n•2ⁿ，
T_n=1×2¹+2×2²+…+n×2ⁿ，
2T_n=1×2²+2×2³+…+n×2ⁿ⁺¹，
于是-T_n=2+2²+2³+…+2ⁿ-n×2ⁿ⁺¹=

2(1-2n)

1-2

-n×2ⁿ⁺¹，…（10分）
即 T_n=（n-1）2ⁿ⁺¹+2，
所以，数列{c_n}的前n项和公式T_n=（n-1）2ⁿ⁺¹+2．…（12分）

点评：本题主要考查利用等比数列的定义证明数列是等比数列及利用错位相减法对数列求和知识，属中档题．