Question

试用两种不同的方法证明如下不等式：若x，y，z∈R，则(

x+y+z

3

)2≤

x2+y2+z2

3

．

Answer 1

考点：不等式的证明

专题：选作题,分析法,综合法

分析：利用分析法、综合法证明即可．

解答： 解：分析法：要证明(

x+y+z

3

)2≤

x2+y2+z2

3

，
只需证明：（x+y+z）²≤3（x²+y²+z²），
只需证明：2xy+2xz+2yz≤2（x²+y²+z²），
只需证明：（x-y）²+（y-z）²+（x-z）²≥0，
显然成立，
∴(

x+y+z

3

)2≤

x2+y2+z2

3

，
综合法：∵（x-y）²+（y-z）²+（x-z）²≥0，
∴2xy+2xz+2yz≤2（x²+y²+z²），
∴（x+y+z）²≤3（x²+y²+z²），
∴(

x+y+z

3

)2≤

x2+y2+z2

3

．

点评：本题主要考查用分析法和综合法证明不等式，此题还可用比较法证明，体会不同方法间的区别联系，属于中档题．