Question

设函数f（x）=

1

3

x³-ax（a＞0），g（x）=bx²+2b-1．
（1）若曲线y=f（x）与y=g（x）在它们的交点（1，c）处有相同的切线，求实数a，b的值；
（2）当a=1，b=0时，求函数h（x）=f（x）+g（x）在区间[t，t+3]（t≥-2）上的最小值；
（3）当b=

1-a

2

时，若函数h（x）=f（x）+g（x）在区间（-2，0）内恰有两个零点，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的极值,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（1）求导数，根据曲线y=f（x）与y=g（x）在它们的交点（1，c）处有相同切线，建立方程，即可求实数a，b的值；
（2）确定函数h（x）的单调递增区间为（-∞，-1），（1，+∞），单调递减区间为（-1，1），分类讨论，即可得出函数h（x）=f（x）+g（x）在区间[t，t+3]上的最小值；
（3）求导数，确定h（x）在区间（-2，-1）内单调递增，在区间（-1，0）内单调递减，再利用函数h（x）在区间（-2，0）内恰有两个零点，当且仅当

h(-2)＜0 h(-1)＞0 h(0)＜0

，即可求实数a的取值范围．

解答： 解：（1）因为f（x）=

1

3

x³-ax（a＞0），g（x）=bx²+2b
所以f′（x）=x²-a，g′（x）=2bx，
因为曲线y=f（x）与y=g（x）在它们的交点（1，c）处有相同切线，
所以f（1）=g（1），且f′（1）=g′（1）．
即

1

3

-a=b+2b-1，且1-a=2b，
解得a=

1

3

，b=

1

3

；
（2）当a=1，b=0时，h（x）=f（x）+g（x）=

1

3

x³-x-1
所以函数h（x）的单调递增区间为（-∞，-1），（1，+∞），单调递减区间为（-1，1）．
由于h（-2）=-

5

3

，h（1）=-

5

3

，所以h（-2）=h（1）．
①当-2≤t＜1时，[h（x）]_min=h（1）=-

5

3

；
③当t≥1时，h（x）在区间[t，t+3]上单调递增，[h（x）]_min=h（t）=

1

3

t³-t-1；
综上可知，函数h（x）在区间[t，t+3]上的最小值为[h（x）]_min=

1 3 t3-t-1，t∈[1，+∞) - 5 3 ，t∈[-2，1)

；
（2）当a=1-2b时，h（x）=

1

3

x3+

1-a

2

x2-ax-a（a＞0），
所以h′（x）=x²+（1-a）x-a=（x+1）（x-a）．
令h′（x）=0，解得x₁=-1，x₂=a＞0．
当x变化时，h′（x），h（x）的变化情况如下表：

x	（-∞，-1）	-1	（-1，a）	a	（a，+∞）
h′（x）	+	0	-	0	+
h（x）	↗	极大值	↘	极小值	↗

所以函数h（x）的单调递增区间为（-∞，-1），（a，+∞），单调递减区间为（-1，a）．
故h（x）在区间（-2，-1）内单调递增，在区间（-1，0）内单调递减．
从而函数h（x）在区间（-2，0）内恰有两个零点，当且仅当

h(-2)＜0 h(-1)＞0 h(0)＜0

 
即

- 8 3 +2(1-a)+2a-a＜0 - 1 3 + 1-a 2 +a-a＞0 -a＜0

解得0＜a＜

1

3

．
所以实数a的取值范围是（0，

1

3

）．

点评：本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查函数的最值，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．