Question

14．若函数f（x）=2sinωx（ω＞0）在区间$[{-\frac{π}{6}\;，\;\;\frac{π}{4}}]$上单调递增，则ω的最大值为2．且当ω取最大值时f（x）的值域为[-2，2]．

Answer 1

分析 根据三角函数的单调性的性质求出ω的值，结合三角函数的值域和单调性的关系进行求解即可．

解答 解：∵ω＞0，
∴函数的周期T=$\frac{2π}{ω}$，则函数在[-$\frac{T}{4}$，$\frac{T}{4}$]上是增函数，
若f（x）在区间$[{-\frac{π}{6}\;，\;\;\frac{π}{4}}]$上单调递增，
则$\frac{π}{4}$≤$\frac{T}{4}$，即T≥π，即$\frac{2π}{ω}$≥π，则ω≤2，
则ω的最大值为2，
此时f（x）=2sin2x，则函数的最大值为2，最小值为-2，
即函数的值域为[-2，2]，
故答案为：2，[-2，2]

点评 本题主要考查三角函数单调性和值域的求解，利用三角函数的周期公式以及三角函数单调性的性质是解决本题的关键．