Question

4．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（0，3），直线l：y=x-1，设圆C的半径为1，圆心在l上．
（1）若圆心C也在直线y=5-x上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；
（2）若圆C上存在点M，使MA=2MO，求圆心C的横坐标a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）先求出圆心坐标，可得圆的方程，再设出切线方程，利用点到直线的距离公式，即可求得切线方程；
（2）设出点C，M的坐标，利用MA=2MO，寻找坐标之间的关系，进一步将问题转化为圆与圆的位置关系，即可得出结论．

解答 解：（1）由题设，圆心C在y=x-1上，也在直线y=5-x上，
解得x=3，y=2，∴C（3，2），
∴圆C：（x-3）²+（y-2）²=1；
由题意，当斜率存在时，过A点切线方程可设为y=kx+3，
即kx-y+3=0，则$\frac{|3k-2+3|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=1，
解得：k=0或k=-$\frac{3}{4}$，
对应的直线方程为y=3或y=-$\frac{3}{4}$x+3；
当斜率不存在时，直线x=0不与圆相切，
故所求切线方程为y=3或y=-$\frac{3}{4}$x+3，
即y-3=0或3x+4y-12=0；
（2）设点C（a，a-1），M（x₀，y₀），则
∵MA=2MO，A（0，3），O（0，0），
∴x02+（y0-3）2=4（x02+y02），
即x02+y02=3-2y0，
又点M在圆C上，∴${{（x}_{0}-a）}^{2}$+${{（y}_{0}-a+1）}^{2}$=1，
∴M点为x02+y02=3-2y0与${{（x}_{0}-a）}^{2}$+${{（y}_{0}-a+1）}^{2}$=1的交点，
若存在这样的点M，则x02+y02=3-2y0与${{（x}_{0}-a）}^{2}$+${{（y}_{0}-a+1）}^{2}$=1有交点，
即两圆的圆心距d满足：1≤d≤3，
∴1≤$\sqrt{{a}^{2}{+（a-2）}^{2}}$≤3，
即1≤2a²-4a+4≤9，
解得1-$\frac{\sqrt{14}}{2}$≤a≤1+$\frac{\sqrt{14}}{2}$，
即a的取值范围是[1-$\frac{\sqrt{14}}{2}$，1+$\frac{\sqrt{14}}{2}$]．

点评 本题考查了直线与圆的位置关系以及圆与圆的位置关系应用问题，也考查了计算能力与分类讨论的数学思想，属于综合性题目．