Question

9．如图，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁=AB=AC=2，D，E，F分别是B₁A₁，CC₁，BC的中点，AE⊥A₁B₁，D为棱A₁B₁上的点．
（1）证明：DF⊥AE；
（2）求平面DEF与平面ABC所成锐二面角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）推导出AB⊥AE，AB⊥AA₁，从而AB⊥面A₁ACC₁，由此能证明AB⊥AC，以A为原点，分别以AB，AC，AA₁所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明DF⊥AE．
（2）求出平面DEF的法向量和平面ABC的法向量，利用向量法能求出平面DEF与平面ABC所成锐二面角的余弦值．

解答 证明：（1）∵AE⊥A₁B₁，A₁B₁∥AB，
∴AB⊥AE，又∵AB⊥AA₁，AE∩AA₁=A，
∴AB⊥面A₁ACC₁，又∵AC?面A₁ACC₁，
∴AB⊥AC，
以A为原点，分别以AB，AC，AA₁所在直线为x，y，z轴，
建立空间直角坐标系，
则A（0，0，0），E（0，2，1），F（1，1，0），A₁（0，0，2），B₁（2，0，2），
设D（x，y，z），$\overrightarrow{{A}_{1}D}$=λ$\overrightarrow{{A}_{1}{B}_{1}}$，且λ∈[0，1]，
即（x，y，z-2）=λ（2，0，0），∴D（2λ，0，2），
∴$\overrightarrow{DF}$=（1-2λ，1，-2），$\overrightarrow{AE}$=（0，2，1），
∵$\overrightarrow{DF}•\overrightarrow{AE}$=0+2-2=0，
∴DF⊥AE．
解：（2）D（1，0，2），E（0，2，1），F（1，1，1），
$\overrightarrow{DE}$=（-1，2，-1），$\overrightarrow{DF}$=（0，1，-1），
设平面DEF的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DE}=-x+2y-z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DF}=y-z=0}\end{array}\right.$，取y=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，1，1），
平面ABC的法向量$\overrightarrow{m}$=（0，0，1），
cos＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{m}$＞=$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{m}}{|\overrightarrow{n}|•|\overrightarrow{m}|}$=$\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$．
∴平面DEF与平面ABC所成锐二面角的余弦值为$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查线线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．