Question

18．[$\sqrt{n}$]表示不超过$\sqrt{n}$的最大整数．若
S₁=[$\sqrt{1}$]+[$\sqrt{2}$]+[$\sqrt{3}$]=3，
S₂=[$\sqrt{4}$]+[$\sqrt{5}$]+[$\sqrt{6}$]+[$\sqrt{7}$]+[$\sqrt{8}$]=10，
S₃=[$\sqrt{9}$]+[$\sqrt{10}$]+[$\sqrt{11}$]+[$\sqrt{12}$]+[$\sqrt{13}$]+[$\sqrt{14}$]+[$\sqrt{15}$]=21，
…，
则S_n=（　　）

• A． n（n+2）
• B． n（n+3）
• C． （n+1）²-1
• D． n（2n+1）

Answer 1

分析 先根据条件，观察S₁，S₂，S₃…的起始数、项数的规律，再根据规律归纳推理，得到S_n的起始数、项数，从而求出S_n．

解答 解：第一个等式，起始数为：1，项数为：3=4-1=2²-1²，S₁=1×3；
第二个等式，起始数为：2，项数为：5=9-4=3²-2²，S₂=2×5；
第三个等式，起始数为：3，项数为：7=16-9═4²-3²，S₃=3×7；
…
第n个等式，起始数为：n，项数为：（n+1）²-n²=2n+1，S_n=n（2n+1），（n∈N^*）．
故选：D．

点评 本题考查的是归纳推理，重点是发现规律：起始数和项数，难点是繁，书写要细心，容易写乱、写错．