Question

17．已知函数$f（x）=lnx-\frac{1}{4}x+\frac{3}{4x}-1$，g（x）=x²-2bx+4，若对任意x₁∈（0，2），存在x₂∈[1，2]，使f（x₁）≥g（x₂），则实数b的取值范围是[$\frac{17}{8}$，+∞）．

Answer 1

分析 利用导数研究函数f（x）的最值问题，根据题意对任意x₁∈（0，2），存在x₂∈[1，2]，使f（x₁）≥g（x₂），只要f（x）的最小值大于等于g（x）的最小值即可．

解答 解：∵函数$f（x）=lnx-\frac{1}{4}x+\frac{3}{4x}-1$，
∴f′（x）=$\frac{1}{x}-\frac{1}{4}-\frac{3}{4{x}^{2}}$=$\frac{-{x}^{2}+4x-3}{4{x}^{2}}$=$-\frac{（x-1）（x-3）}{4{x}^{2}}$，
若f′（x）＞0，1＜x＜3，f（x）为增函数；
若f′（x）＜0，x＞3或0＜x＜1，f（x）为减函数；
f（x）在x∈（0，2）上有极值，
f（x）在x=1处取极小值也是最小值f（x）_min=f（1）=-$\frac{1}{4}+\frac{3}{4}-1$=-$\frac{1}{2}$；
∵g（x）=x²-2bx+4=（x-b）²+4-b²，对称轴x=b，x∈[1，2]，
当b＜1时，g（x）在x=1处取最小值g（x）_min=g（1）=1-2b=4=5-2b；
当1＜b＜2时，g（x）在x=b处取最小值g（x）_min=g（b）=4-b²；
当b＞2时，g（x）在[1，2]上是减函数，g（x）_min=g（2）=4-4b+4=8-4b；
∵对任意x₁∈（0，2），存在x₂∈[1，2]，使f（x₁）≥g（x₂），
∴只要f（x）的最小值大于等于g（x）的最小值即可，
当b＜1时，-$\frac{1}{2}$≥5-2b，解得b≥$\frac{11}{4}$，故b无解；当b＞2时，-$\frac{1}{2}$≥8-4b，解得b≥$\frac{17}{8}$，
综上：b≥$\frac{17}{8}$，
故答案为：[$\frac{17}{8}$，+∞）．

点评 本题考查不等式恒成立问题，利用导数求闭区间上函数的最值，根据不等式恒成立转化为最值是解决本题的关键．综合性较强，运算较大，有一定的难度．