Question

已知数列{a_n}中，a₁=2，a₂=1，a_n+2-5a_n+1+6a_n=0，求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

考点：数列递推式

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：根据题意可得{a_n+1-3a_n}是以-5为首项以2为公比的等比数列，{a_n+1-2a_n}是以-3为首项以3为公比的等比数列，即而得到a_n+1-3a_n=-5×2^n-1，①，a_n+1-2a_n=-3×3^n-1②，解得a_n即可

解答： 解：因为数列{a_n}满足a₁=2，a₂=1，a_n+2-5a_n+1+6a_n=0（n∈N*），
∴a_n+2-3a_n+1=2a_n+1-6a_n，a_n+2-2a_n+1=3（a_n+1-2a_n）
∴

an+2-3an+1

an+1-3an

=2，

an+2-2an+1

an+1-2an

=3，
∴a₂-3a₁=1-3×2=-5，a₂-2a₁=1-2×2=-3，
∴{a_n+1-3a_n}是以-5为首项以2为公比的等比数列，{a_n+1-2a_n}是以-3为首项以3为公比的等比数列，
∴a_n+1-3a_n=-5×2^n-1，①，a_n+1-2a_n=-3×3^n-1②
②-①得，a_n=5×2^n-1-3ⁿ，
验证a₁=2，a₂=1，成立，
故数列{a_n}的通项公式a_n=5×2^n-1-3ⁿ，

点评：本题主要考查利用递推公式求数列的通项公式，考查学生构造数列的数学思想方法的运用能力及运算求解能力，属于中档题．