Question

已知直线l：y=4x和点P（6，4），点A为第一象限内的点且在直线l上，直线PA交x轴正半轴于点B，
（1）当OP⊥AB时，求AB所在直线的直线方程；
（2）求△OAB面积的最小值，并求当△OAB面积取最小值时的B的坐标．

Answer 1

考点：直线的一般式方程

专题：直线与圆

分析：（1）由垂直关系可得k_AB=-

3

2

，由AB过点P（6，4）可得点斜式方程，化为一般式可得；
（2）设点A（a 4a），a＞0，点B坐标为（b，0），b＞0，可得△OAB面积为S=

1

2

×

5a

a-1

×4a=

10a2

a-1

，即10a²-Sa+S=0，由判别式△=S²-40S≥0可得S≥40，即S的最小值等于40，代入解此时的方程可得B坐标．

解答： 解：（1）∵点P（6，4），∴k_OP=

2

3

，
∵OP⊥AB，∴k_AB=-

3

2

，
∵AB过点P（6，4），
∴AB的方程为y-4=-

3

2

（x-6）
化为一般式可得：3x+2y-26=0
（2）设点A（a 4a），a＞0，点B坐标为（b，0），b＞0，
则直线PA的斜率为

4a-4

a-6

=

0-4

b-6

，解得b=

5a

a-1

，故B的坐标为（

5a

a-1

，0），
故△OAB面积为S=

1

2

×

5a

a-1

×4a=

10a2

a-1

，即10a²-Sa+S=0．
由题意可得方程10a²-Sa+S=0有解，故判别式△=S²-40S≥0，S≥40，
故S的最小值等于40，此时方程为a²-4a=4=0，解得a=2．
综上可得，△OAB面积的最小值为40，
当△OAB面积取最小值时点B的坐标为（10，0）．

点评：本题考查直线的一般式方程的应用，直线的斜率公式，一元二次方程有解的条件，属基础题．