Question

如图，在多面体ABCDPQ中，底面ABCD为菱形，∠ABC=60°，PA⊥底面ABCD，DQ∥AP，AP=AD=2DQ=2，
（1）求证：BD⊥平面PAC；
（2）求平面PAB与平面PCQ所成锐二面角的余弦值；
（3）若E为PB中点，点F在线段CQ上，当平面AEF⊥平面PAB时，求CF的长．

Answer 1

考点：用空间向量求平面间的夹角,直线与平面垂直的判定,平面与平面垂直的性质

专题：综合题,空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）证明PA⊥BD，BD⊥AC，利用线面垂直的判定定理证明BD⊥平面PAC；
（2）建立坐标系，求出平面PAB的法向量、平面PCQ的法向量，利用向量的夹角公式求平面PAB与平面PCQ所成锐二面角的余弦值；
（3）设F（

3

（1-m），m+1，m），求出平面AEF的法向量，从而求出F的坐标，即可求出CF的长．

解答： （1）证明：∵PA⊥底面ABCD，BD?底面ABCD，
∴PA⊥BD，
∵底面ABCD为菱形，
∴BD⊥AC，
∵PA∩AC=A，
∴BD⊥平面PAC；
（2）解：建立如图所示的坐标系，则A（0，0，0），P（0，0，2），B（

3

，-1，0），C（

3

，1，0），Q（0，2，1）
∴

AP

=（0，0，2），

AB

=（

3

，-1，0），
设平面PAB的法向量为

m

=（x，y，z），则

2z=0 3 x-y=0

，取

m

=（1，

3

，0），
同理可得平面PCQ的法向量为

n

=（

3

，1，2），
∴平面PAB与平面PCQ所成锐二面角的余弦值为

2 3

1+3 • 3+1+4

=

6

4

；
（3）解：设F（

3

（1-m），m+1，m），
∵E（

3

2

，-

1

2

，1），
∴

AE

=（

3

2

，-

1

2

，1），

AF

=（

3

（1-m），m+1，m），
设平面AEF的法向量为（a，b，1），则当平面AEF⊥平面PAB时，

a+ 3 b=0 3 2 a- 1 2 b+1=0

，
∴a=-

3

2

，b=

1

2

，
∴平面AEF的法向量为（-

3

2

，

1

2

，1），
∴（-

3

2

）×

3

（1-m）+

1

2

（m+1）+m=0，
∴m=

1

3

，
∴F（

2 3

3

，

4

3

，

1

3

），
∴

CF

=（-

3

3

，

1

3

，

1

3

），
∴|

CF

|=

5

3

．

点评：本题考查线面垂直，考查二面角的平面角，考查平面与平面垂直，考查学生分析解决问题的能力，有难度．