Question

已知函数f（x）定义域为R，当x＞0时，f（x）＞1，且对任意x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）•f（y）．
（1）求f（0）的值；
（2）求证：对任意x∈R，都有f（x）＞0．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用

专题：函数的性质及应用

分析：（1）利用赋值法，令x=2，y=0即可求得f（0）的值，
（2）令x＜0，且y=-x，则-x＞0，f（-x）＞1，得到0＜f（x）＜1，问题得以证明．

解答： 解：（1）令x=1，y=0
则f（1）=f（1）•f（0），
∵当x＞0时，f（x）＞1，
∴f（0）=1，
（2）令x＜0，且y=-x，则-x＞0，f（-x）＞1，
∴f（x-x）=f（x）•f（-x）=1，
∵f（-x）＞1，
∴0＜f（x）＜1，
综上所述，对任意x∈R，都有f（x）＞0．

点评：本题主要考查了抽象函数表达式反映函数性质及抽象函数表达式的应用，关键是转化化归的思想的应用，属于基础题．