Question

3．已知函数$f（x）=sin（{ωx+φ}）（{ω＞0，0＜φ＜\frac{π}{2}}）$的图象经过点$（{0，\frac{1}{2}}）$，且相邻两条对称轴的距离为$\frac{π}{2}$，则函数f（x）在[0，π]上的单调递减区间为[$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$]．

Answer 1

分析 利用函数图象的性质求出f（x）的解析式，根据正弦函数的单调性得出f（x）的单调减区间．

解答 解：∵f（x）的图象过点（0，$\frac{1}{2}$），∴sinφ=$\frac{1}{2}$，∵0＜φ＜$\frac{π}{2}$，∴φ=$\frac{π}{6}$．
∵f（x）的图象相邻两条对称轴的距离为$\frac{π}{2}$，∴T=$\frac{2π}{ω}$=π，∴ω=2．
∴f（x）=sin（2x+$\frac{π}{6}$），
令$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x+$\frac{π}{6}$≤$\frac{3π}{2}$+2kπ，解得$\frac{π}{6}$+kπ≤x≤$\frac{2π}{3}$+kπ，k∈Z．
∴函数f（x）在[0，π]上的单调递减区间为[$\frac{π}{6}$+kπ，$\frac{2π}{3}$+kπ]∩[0，π]=[$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$]．
故答案为：$[\frac{π}{6}，\frac{2π}{3}]$．

点评 本题考查了正弦函数的图象与性质，属于中档题．